Question

СРОЧНО ДАМ 50 БАЛОВ Кути, які діагоналі ромба утворюють з однією з його сторін, відносяться як 3:7. Знайдіть кути ромба.

Answer 1

Ответ: 54°; 126°; 54°;  126°

В условии не было сказано о рисунке, я не вводил переменных, поэтому претензий к решению не принимаю.

Объяснение: диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных треугольника, т.к. диагонали ромба взаимно перпендикулярны,    поэтому, если коэффициент пропорциональности равен х, то 3х+7х+90=180, т.к. сумма углов треугольника равна 180°⇒10х=90; х=9, значит, углы ромба будут соответственно равны 2*3х=6*9°=54° и 2*7х=14°*9=126°; я удвоил углы треугольника, т.к. диагонали являются биссектрисами внутренних углов ромба.  а т.к. противоположные углы ромба равны, то искомые углы ромба равны 54°; 126°; 54°;  126°

Answer 2

Для початку, в ромбі всі сторони мають однакову довжину, тому можемо позначити якусь сторону ромба як "x".

За умовою, діагоналі ромба утворюють пропорцію 3:7. Значить, можемо записати:

\( \frac{AC}{BD} = \frac{3}{7} \),

де AC та BD - діагоналі ромба.

Відомо, що діагоналі ромба перпендикулярні одна до одної і перетинаються в точці О, розділяючи їх на 4 рівні відрізки.

Також відомо, що в прямокутному трикутнику AOD (тут OD - півдіагональ ромба) гіпотенуза AD = 2x (так як сторона ромба = 2x), а катет AO = AC/2 (так як AC - діагональ ромба).

Застосуємо теорему Піфагора до трикутника AOD:

\( (AC/2)^2 + (OD)^2 = (AD)^2 \).

Підставимо значення AD = 2x та AC/2 = AC·2 / 2 = AC:

\( (AC)^2 + (OD)^2 = (2x)^2 \).

Так як ми знаємо, що діагоналі утворюють пропорцію 3:7, можемо записати пропорцію:

\( \frac{AC}{BD} = \frac{3}{7} \).

Звідси можемо записати BD = (7/3)·AC.

Підставимо це значення в теорему Піфагора для трикутника BOC:

\( (AC/2)^2 + ((7/3)·AC)^2 = (BO)^2 \).

Розкриємо скорочення та залишимо це рівняння у вигляді:

\( 4(AC)^2 + 49(AC)^2 / 9 = (BO)^2 \).

Складемо загальний знакомий деномінатор:

\( 36(AC)^2 + 49(AC)^2 = 36(BO)^2 \).

Скоротимо коефіцієнти:

\( 85(AC)^2 = 36(BO)^2 \).

Поділимо обидві частини на 36:

\( 85(AC)^2 / 36 = (BO)^2 \).

Розкривши дужки:

\( (AC)^2 = 36(BO)^2 / 85 \).

Враховуючи, що AC = 2x:

\( (2x)^2 = 36(BO)^2 / 85 \).

Скоротимо некілька коефіцієнтів:

\( 4x^2 = 4(BO)^2 / 5 \).

Поділимо обидві частини на 4:

\( x^2 = (BO)^2 / 5 \).

Звідси можемо записати, що BO = sqrt(5)·x (де sqrt - квадратний корінь).

Тепер, ми знайдемо значення катета AO (який дорівнює AC/2) з пропорції AC:BD = 3:7.

Можемо записати:

\( \frac{AC}{BD} = \frac{3}{7} \).

Звідси можемо випливає, що AC/BD = 3/7, тобто AC = (3/7)·BD.

Враховуючи, що BD = 2·BO (так як BD - діагональ ромба, а BO - півдіагональ ромба), записуємо:

\( AC = (3/7)·(2·BO) \).

Скоротимо це значення:

\( AC = (6/7)·BO \).

Знаходимо катет AO (AC/2):

\( AO = \frac{AC}{2} = \frac{(6/7)·BO}{2} = \frac{3}{7}·BO \).

Таким чином, ми знайшли значення AO, BO і OD, які можна використовувати для знаходження кути ромба.

Розглянемо трикутник AOB. За теоремою Косинусів можемо записати:

\( AC^2 = AO^2 + BO^2 - 2·AO·BO·cos(\angle AOB) \).

Підставимо в це рівняння:

\( (6/7·BO)^2 = (3/7·BO)^2 + BO^2 - 2·(3/7·BO)·BO·cos(\angle AOB) \).

Розкриємо скорочення та знайдемо спільний знаменник:

\( (36/49)·BO^2 = (9/49)·BO^2 + BO^2 - (6/7)·BO^2·cos(\angle AOB) \).

Складемо загальний знаменник:

\( 36·BO^2 = 9·BO^2 + 49·BO^2 - 42·BO^2·cos(\angle AOB) \).

Скоротимо коефіцієнти:

\( 36 = 9 + 49 - 42·cos(\angle AOB) \).

Складемо терміни:

\( 36 = 58 - 42·cos(\angle AOB) \).

Перенесемо коефіцієнти на одну сторону рівняння та спростимо:

\( 42·cos(\angle AOB) = 58 - 36 \).

\( 42·cos(\angle AOB) = 22 \).

Поділимо обидві частини на 42:

\( cos(\angle AOB) = 22/42 \).

Скоротимо дробовий коефіцієнт:

\( cos(\angle AOB) = 11/21 \).

Таким чином, знайдений косинус кута AOB дорівнює 11/21.