Question

определить каноническое уравнение гиперболы, если угол между асимптотами равен 60 градусов и С= 2 корня из 3

Answer 1

определить каноническое уравнение гиперболы, если угол между асимптотами равен 60 градусов и С= 2 корня из 3.

Угол между асимптотой и осью Ох равен 60/2 = 30 градусов.

Угловой её коэффициент или тангенс угла наклона к оси Ох равен

1/√3. Значит, в уравнениях асимптот у = +-(b/a)x значение b/a = 1/√3.

Отсюда находим соотношение a = b√3.

Далее используем заданное значение с = 2√3.

Так как с² = a² + b², то используем найденное соотношение a и b .

(2√3)² = (b√3)² + b²,

12 = 3b² + b²,

12 = 4b²,

b² = 12/4 = 3,

b = √3.

Тогда а = b√3 = √3*√3 = 3.

Найдены параметры a и b канонического уравнения параболы:

(x²/a²) - (y²/b²) = 1.

Подставляем найденные параметры и получаем

ответ: (x²/3²) - (y²/(√3)²) = 1.

Эксцентриситет гиперболы равен е = с/а = 2√3/3.

Уравнения асимптот у = +-(√3/3)x.

Координаты фокусов F1,F2 = (+-2√3; 0).

Уравнения директрис х = +-a²/c = +-3√3/2.

Answer 2

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат имеет вид:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \]

где \( a \) и \( b \) - полуоси гиперболы.

Угол \( \theta \) между асимптотами гиперболы и осью \( x \) связан с полуосями \( a \) и \( b \) следующим образом:

\[ \tan(\theta) = \frac{b}{a}. \]

В данном случае угол между асимптотами \( \theta = 60^\circ \).

Из условия можно записать:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{b}{a}, \]

\[ \sqrt{3} = \frac{b}{a}. \]

Также, по определению эксцентриситета \( e \):

\[ e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}. \]

Известно, что \( c = 2\sqrt{3} \) (где \( c \) - расстояние от центра до фокуса). Связь между эксцентриситетом и расстоянием до фокуса:

\[ c = ae. \]

Подставим значения:

\[ 2\sqrt{3} = a \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}. \]

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\[ 12 = a^2 + b^2. \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ \sqrt{3} = \frac{b}{a} \] и \[ 12 = a^2 + b^2. \]

Решив эту систему уравнений, вы сможете определить значения \( a \) и \( b \). После этого вы сможете записать каноническое уравнение гиперболы.