Question

Треугольник АВС вписан в круг, центр которого лежит на АВ. Найдите градусные меры углов С и А, если ∟В=32°.

Answer 1

Ответ:

∠C=90°, ∠A=58°

Объяснение:

Дано:

окружность с центром в точке O,

ΔABC - вписанный,

точка O ∈ AB

∠В=32°.

Найти: ∠C и ∠A.

Решение:

Т.к. точка O ∈ AB, то АВ - диаметр.

Раз АВ - диаметр, то ΔABC - прямоугольный и AB - гипотенуза.

∠С - вписанный и равен половине дуги (а опирается он на полуокружность), на которую он опирается, т.е.

∠С = 180° / 2 = 90°.

∠A + ∠B + ∠С = 180°

∠A = 180° - (∠B + ∠С) = 180° - (32° + 90°) = 58°

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством вписанного угла: угол, опирающийся на дугу, в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пусть центр окружности, в которую вписан треугольник АВС, находится на середине отрезка АВ. Обозначим центр окружности как О.

Так как угол В равен 32°, то угол ВОА равен 64°. Также, так как О является центром окружности, то угол ВОС равен 90°.

Теперь посмотрим на треугольник ВОС. Из свойств треугольника можно сказать, что сумма всех углов треугольника равна 180°. Так как угол В равен 32° и угол ВОС равен 90°, то угол С равен 180° - 32° - 90° = 58°.

Теперь рассмотрим треугольник АОС. Угол О равен 90° (так как О является центром окружности), угол С равен 58° (как мы выяснили ранее). Так как сумма всех углов треугольника равна 180°, то угол А равен 180° - 90° - 58° = 32°.

Таким образом, градусные меры углов С и А равны, соответственно, 58° и 32°.