Question

AD=6см евляется бисектрисой в треугольника ABC найдите отношение треугольников ABD и ACD если AB=9см AC=11 см

Answer 1

Ответ:

9/11

Объяснение:

AB/AD=AC/AD

9/6=11/6=9/11

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой угловой биссектрисы, которая утверждает, что биссектриса угла треугольника делит противолежащий угол на два равных угла, а также делит противолежащую сторону в отношении боковых сторон.

Обозначим:

- \( AD \) - биссектриса угла \( BAC \) треугольника \( ABC \), - \( BD \) - боковая сторона треугольника \( ABD \), - \( CD \) - боковая сторона треугольника \( ACD \).

Из условия задачи у нас имеются следующие длины сторон:

- \( AB = 9 \) см, - \( AC = 11 \) см, - \( AD = 6 \) см.

Теперь, применяя теорему угловой биссектрисы, мы можем найти длины отрезков \( BD \) и \( CD \).

Сначала найдем длину \( BD \). Поскольку \( AD \) является биссектрисой угла \( BAC \), то мы можем воспользоваться пропорциональностью боковых сторон треугольника:

\[ \frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{BD}{9} = \frac{CD}{11} \]

Теперь найдем \( BD \):

\[ BD = \frac{9 \cdot AD}{AD + AC} = \frac{9 \cdot 6}{6 + 11} = \frac{54}{17} \]

Теперь найдем \( CD \):

\[ CD = \frac{11 \cdot AD}{AD + AB} = \frac{11 \cdot 6}{6 + 9} = \frac{66}{15} = \frac{22}{5} \]

Таким образом, длина \( BD \) равна \( \frac{54}{17} \) см, а длина \( CD \) равна \( \frac{22}{5} \) см.

Теперь мы можем найти отношение площадей треугольников \( ABD \) и \( ACD \). Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту.

Пусть \( h_1 \) - высота треугольника \( ABD \), \( h_2 \) - высота треугольника \( ACD \).

\[ \text{Площадь}(\triangle ABD) = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_1 \] \[ \text{Площадь}(\triangle ACD) = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2 \]

Отношение площадей:

\[ \frac{\text{Площадь}(\triangle ABD)}{\text{Площадь}(\triangle ACD)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_1}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2} \]

Поскольку высоты обоих треугольников \( h_1 \) и \( h_2 \) одинаковы (поскольку проведена из одной точки к одному отрезку), их можно сократить:

\[ \frac{\text{Площадь}(\triangle ABD)}{\text{Площадь}(\triangle ACD)} = \frac{BD}{CD} \]

Подставим значения:

\[ \frac{\frac{54}{17}}{\frac{22}{5}} = \frac{54}{17} \cdot \frac{5}{22} = \frac{270}{374} \]

Ответ: Отношение площадей треугольников \( ABD \) и \( ACD \) равно \( \frac{270}{374} \).