Question

Пусть BB1 и CC1 - высоты остроугольного треугольника АВС с углом А, который равен 30°, В2 и С2 - середины сторон АС и АВ соответственно. Докажите, что отрезки В1С2 и В2С1 перепендикулярны

Answer 1

Ответ:

.........................................

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\) с углом \(A = 30^\circ\). Пусть \(BB_1\) и \(CC_1\) - высоты треугольника, \(B_2\) и \(C_2\) - середины сторон \(AC\) и \(AB\) соответственно.

Чтобы доказать, что отрезки \(B_1C_2\) и \(B_2C_1\) перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойством высот треугольника и прямоугольными треугольниками.

Обозначим \(H_B\) и \(H_C\) точки пересечения высот с противоположными сторонами треугольника. Тогда у нас есть следующие равенства:

1. \(AB_1H_B\) - прямоугольный треугольник (в силу определения высоты). 2. \(ACH_B\) - прямоугольный треугольник (в силу определения высоты). 3. \(ACH_C\) - прямоугольный треугольник (в силу определения высоты).

Также, учитывая, что \(B_2\) и \(C_2\) - середины сторон, у нас есть равенства:

4. \(AC_2 = C_2B_2\) 5. \(AB_2 = B_2C_2\)

Теперь рассмотрим треугольник \(AB_2C_2\). Поскольку \(B_2\) и \(C_2\) - середины сторон, он является половиной треугольника \(ABC\). Таким образом, угол \(A\) в треугольнике \(AB_2C_2\) также равен \(30^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольники \(AB_1H_B\) и \(ACH_B\). У них общий угол \(A = 30^\circ\), и углы \(AB_1H_B\) и \(ACH_B\) являются прямыми. Следовательно, эти треугольники подобны.

Аналогично, треугольники \(AB_1H_C\) и \(ACH_C\) подобны.

Теперь обратим внимание на отрезки \(B_1C_2\) и \(B_2C_1\). Так как \(B_1H_B \parallel AC_2\) (по свойству подобных треугольников) и \(AC_2 = C_2B_2\), то \(B_1H_B = H_BC_2\). То же самое можно сказать и о треугольниках \(B_2H_C\) и \(AC_1H_C\).

Таким образом, у нас есть следующие равенства:

\[B_1H_B = H_BC_2\] \[B_2H_C = H_CC_1\]

Теперь рассмотрим треугольник \(H_BH_CC_2\). Этот треугольник прямоугольный, так как углы \(H_B\) и \(H_C\) являются прямыми углами (высоты перпендикулярны к основаниям). Также, у нас есть равенства сторон:

\[B_1H_B = H_BC_2\] \[B_2H_C = H_CC_1\]

Следовательно, треугольник \(H_BH_CC_2\) - это прямоугольный треугольник со сторонами, равными друг другу. Таким образом, угол между \(B_1C_2\) и \(B_2C_1\) равен \(90^\circ\), что и означает, что отрезки \(B_1C_2\) и \(B_2C_1\) перпендикулярны.