Question

скласти рівняння площини, що проходить через точку P(-1;-2;1) і паралельна до прямих ((x+1)/2)=((y+1)/-2)=(z/1), ((x-2)/2)=((y-1)/3)=((z+1)/-1)

Answer 1

Ответ:

вектора напрямні  U беремо у знаменниках рівнянь прямої

Объяснение:

Answer 2

Щоб скласти рівняння площини, яка проходить через задану точку P(-1, -2, 1) і паралельна до двох заданих прямих, можна скористатися фактом, що вектор нормалі до площини також паралельний до вектору напрямку прямої.

Запишемо рівняння прямих у параметричній формі:

1. Перша пряма: \[ \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -1 - 2t \\ z = t \end{cases} \]

2. Друга пряма: \[ \begin{cases} x = 2 + 2s \\ y = 1 + 3s \\ z = -1 - s \end{cases} \]

Тепер визначимо напрямкові вектори для обох прямих:

1. Напрямковий вектор для першої прямої (проізводимо різницю кінцевої і початкової точок): \(\vec{v_1} = (2 - (-1), (-1 - (-2)), (t - 0)) = (3, 1, t)\)

2. Напрямковий вектор для другої прямої: \(\vec{v_2} = ((2 + 2s) - 2, ((1 + 3s) - 1), ((-1 - s) - 0)) = (2, 3, -1 - s)\)

Тепер вектор нормалі для площини буде перпендикулярний обом напрямковим векторам. Знайдемо цей вектор, знаючи, що він паралельний до вектору \(\vec{v_1}\times \vec{v_2}\) (векторного добутку):

\[ \vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & t \\ 2 & 3 & -1 - s \\ \end{vmatrix} \]

Обчислимо векторний добуток:

\[ \vec{n} = \left((1 \cdot (-1 - s) - (t \cdot 3)), -(3 \cdot 2 - (t \cdot 2)), 3 \cdot (3 - (2 \cdot 1)) - 2 \cdot 1\right) \]

Спростимо вираз:

\[ \vec{n} = (-1 - s - 3t, -6 + 2t, 7) \]

Тепер маємо вектор нормалі до площини. Використаємо його та точку P(-1, -2, 1), щоб скласти рівняння площини в загальній формі \(Ax + By + Cz + D = 0\):

\[ (-1 - s - 3t)(x + 1) + (-6 + 2t)(y + 2) + 7(z - 1) = 0 \]

Спростимо це рівняння, а також використаємо параметризацію, щоб виразити s та t:

\[ (-x - s - 3t - x - 1) + (-6y + 12 + 2t) + 7z - 7 = 0 \]

\[ -2x - s - 3t - 6y + 2t + 7z + 4 = 0 \]

\[ -2x - 6y + 7z - s - t + 4 = 0 \]

Отже, рівняння площини, яка проходить через точку P(-1, -2, 1) і паралельна до заданих прямих, має вигляд:

\[ -2x - 6y + 7z - s - t + 4 = 0 \]