Question

З.Задані координати вершин піраміди MNPQ: M(6;6;2), N(5;4;7), P(2;4;7), Q(7;3;0). Знайти: 1) рівняння ребра NQ; 2) рівняння грані MNQ; 3) рівняння висоти, опущеної із вершини Р на грань MNO; 4) довжину цієї висоти; 5) рівняння площини, що проходить через вершину Р і паралельній грані MNQ; 6) рівняння площини, що проходить через вершину Р і перпендикулярній ребру NQ; 7) кут між ребрами NO і NM.

Answer 1

Задані координати вершин піраміди MNPQ:

M(6;6;2), N(5;4;7), P(2;4;7), Q(7;3;0). Знайти:

1) рівняння ребра NQ;

Вектор NQ = (7-5; 3-4; 0-7) = (2; -1; -7).

Уравнение ребра NQ: (x-5)/2 = (y-4)/(-1) = (z-7)/(-7).

2) рівняння грані MNQ;

Используем вектор NQ = (2; -1; -7).

Находим вектор NM = (6-5; 6-4; 2-7) = (1; 2; -5).

Вычисляем векторное произведение:

NQ x NM =     i       j      k |       i        j

                     2     -1     -7 |      2      -1

                     1      2     -5 |      1       2 = 5i – 7j + 4k + 10j + 14i + 1k =

                                                           = 19i + 3j + 5k.

Получен нормальный вектор плоскости MNQ: N = (19; 3; 5).

Уравнение плоскости MNQ:

19(x – 6) + 3(y – 6) + 5(z - 2) = 0.

19x + 3y + 5z – 142 = 0.

3) рівняння висоти, опущеної із вершини Р на грань MNO

Направляющим вектором этой высоты является нормальный вектор плоскости MNQ: N = (19; 3; 5).

Используем координаты точки Р(2;4;7).

Уравнение высоты:

(x – 2)/19 = (y – 4)/3 = (z – 7)/5.

4) довжину цієї висоти;

Длину высоты h найдём по формуле h = 3V/S(MNQ).

Для нахождения объёма V находим вектор NP.

NP = (2-5; 4-4; 7-7) = (-3; 0; 0).

Находим смешанное произведение векторов:

(NQ x NM)* NP = 19     3      5

                            -3      0      0

                           -57  + 0  +  0   = -57.

Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения.

V = (1/6)*57 = 57/6 = 19/2 = 9,5.

Площадь треугольника MNQ равна половине модуля векторного произведения:

S(MNQ) = (1/2)√(19² +  3² + 5²) = = (1/2)√(361 + 9 + 25) = (1/2)√395 ≈ 9,937303.

Получаем h = 3*(19/2)/((1/2)√395) = 57/√395 = 57√395/395 ≈ 2,867981.

5) рівняння площини, що проходить через вершину Р і паралельній грані MNQ;

Нормальный вектор для такой плоскости равен N = (19; 3; 5).

Уравнение плоскости получаем, подставив координаты точки P(2;4;7):

19(x – 2) + 3(y – 4) + 5(z - 7) = 0.

19x + 3y + 5z – 85 = 0.

6) рівняння площини, що проходить через вершину Р і перпендикулярній ребру NQ.

Нормальный вектор для такой плоскости равен направляющему вектору прямой NQ.

Вектор NQ = (2; -1; -7).

Уравнение плоскости получаем, подставив координаты точки P(2;4;7):

2(x – 2) - 1(y – 4) - 7(z - 7) = 0.

2x - y - 7z + 49 = 0.

7) кут між ребрами NQ і NM.   M(6;6;2), N(5;4;7), P(2;4;7), Q(7;3;0).

Угол NM_NQ  

NM = 1      2      -5   5,477226

NQ= 2     -1      -7     7,348469

2 + -2 + 35 = 35

cos(NM_NQ) 35 / 40,24922 = 0,869582

NM_NQ=    0,516441 радиан  

            29,5899 градусов.  

Answer 2

Для розв'язання цих задач спочатку потрібно визначити вектори, що визначають ребра і грані піраміди, а потім використати властивості векторного і скалярного добутку для знаходження рівнянь ребер, граней, висоти та площини.

1. Рівняння ребра NQ: Вектор NQ = Q - N = (7 - 5, 3 - 4, 0 - 7) = (2, -1, -7) Рівняння ребра NQ можна записати у параметричному вигляді: x = 5 + 2t y = 4 - t z = 7 - 7t

2. Рівняння грані MNQ: Для знаходження рівняння грані MNQ, потрібно знайти векторний добуток векторів MN і NQ. Вектор MN = N - M = (5 - 6, 4 - 6, 7 - 2) = (-1, -2, 5) Векторний добуток MN і NQ: MN x NQ = (-1, -2, 5) x (2, -1, -7) = (-11, 1, 3) Рівняння грані MNQ можна записати у вигляді: -11x + y + 3z + D = 0, де D - довільна константа.

3. Рівняння висоти, опущеної із вершини Р на грань MNO: Вектор PR = R - P = (7 - 2, 3 - 4, 0 - 7) = (5, -1, -7) Вектори MN і PR перпендикулярні, тому їх скалярний добуток дорівнює нулю: MN · PR = (-1, -2, 5) · (5, -1, -7) = -5 + 2 - 35 = -38 З рівнянням грані MNQ ми можемо записати рівняння висоти: -11x + y + 3z + D = 0

4. Довжина висоти, опущеної із вершини Р на грань MNO: Довжина висоти може бути обчислена за формулою: h = |MN · PR| / |MN|, де |MN · PR| - модуль скалярного добутку MN і PR, а |MN| - довжина вектора MN. |MN · PR| = |-38| = 38 |MN| = √((-1)^2 + (-