Question

Діагоналі плоского чотирикутника перетинаються в точці О. Із точки О проведено перпендикуляр ОМ до прямої АВ і перпендикуляр ОК до площини чотирикутника. Доведіть, що прямі МК і АВ взаємно перпендикулярні

Answer 1

Объяснение:

ОК ⟂ (ABC) => OK перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости, а значит ОК ⟂ ОМ.

ОМ ⟂ АВ (по условию), по теореме о трёх перпендикулярах МК ⟂ АВ, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для того чтобы довести, что прямые MK и AB взаимно перпендикулярны, давайте воспользуемся свойствами перпендикуляров.

Обозначим через N точку пересечения прямых MK и AB. Так как MK и OK перпендикулярны, а также AB и ON перпендикулярны, то можно сказать, что треугольник MON подобен треугольнику AON по признаку угловой схожести.

Таким образом, у нас есть следующее соотношение углов:

∠MNO = ∠ANO.

Теперь рассмотрим углы ∠ANO и ∠ANM. Так как AN перпендикулярна к AB, а NM перпендикулярна к MK, то углы ∠ANO и ∠ANM являются противоположными вершинами параллельных линий и, следовательно, равны.

Таким образом, мы получаем:

∠MNO = ∠ANO = ∠ANM.

Теперь обратим внимание на треугольник AMK. У него уже есть два прямых угла: ∠ANK и ∠MKN (так как NM перпендикулярна к MK). Так как у нас уже есть равенство ∠ANM = ∠ANK, то третий угол ∠MKN тоже равен прямому углу.

Итак, мы показали, что угол ∠MKN равен 90 градусов, что означает, что прямые MK и AB взаимно перпендикулярны.