Question

Найдите cos A, если Tg A = 0,5 ​

Answer 1

Ответ:

$tgA=0,5\\\\1+tg^2A=\dfrac{1}{cos^2A}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ cos^2A=\dfrac{1}{1+tg^2A}=\dfrac{1}{1+0,25}=\dfrac{1}{1,25}=\dfrac{1}{\frac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\\\\\\cosA=\pm \dfrac{2}{\sqrt5}=\pm \dfrac{2\sqrt5}{5}$

Answer 2

Для нахождения значения косинуса угла \( A \), если известен тангенс \( A \), мы можем воспользоваться определением тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.

Тангенс угла \( A \) определяется следующим образом:

\[ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

Если у нас есть уравнение \( \tan A = 0.5 \), то это означает, что противолежащий катет равен половине прилежащего катета. Теперь мы можем представить прямоугольный треугольник, где противолежащий катет равен \( x \), а прилежащий катет равен \( 2x \).

\[ \tan A = \frac{x}{2x} \]

Решив уравнение, получаем:

\[ 0.5 = \frac{x}{2x} \]

Умножим обе стороны на \( 2x \):

\[ x = 2x \cdot 0.5 \]

\[ x = 1 \]

Теперь, когда мы знаем значения противолежащего и прилежащего катетов, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы:

\[ \text{гипотенуза} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} \]

\[ \text{гипотенуза} = \sqrt{1^2 + (2 \cdot 1)^2} \]

\[ \text{гипотенуза} = \sqrt{1 + 4} \]

\[ \text{гипотенуза} = \sqrt{5} \]

Теперь мы можем найти косинус угла \( A \), используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

\[ \cos A = \frac{2x}{\sqrt{5}} \]

Подставим \( x = 1 \):

\[ \cos A = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{5}} \]

\[ \cos A = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Чтобы избавиться от знаменателя под корнем, умножим и разделим на \(\sqrt{5}\):

\[ \cos A = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5} \]

Таким образом, значение \( \cos A \), при условии \( \tan A = 0.5 \), равно \( \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5} \).