Question

ПОМОГИТЕ ПЖ ДАЮ 40 БАЛЛОВ 4. Высота СК прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 4 см и 36 см. Найдите катеты и периметр треугольника.4. Высота СК прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 4 см и 36 см. Найдите катеты и периметр треугольника.

Answer 1

•Примем сторону АС за «х», СВ за «у», СК за «z».

•Рассмотрим треугольник ВКС:

Выразим гипотенузу ВС через катеты ВК и КС: у^2 = 36^2 + z^2

•Рассмотрим треугольник СКА:

Выразим гипотенузу СА через катеты СК и КА: z^2 + 4^2= x^2

•Рассмотрим треугольник АВС, найдём гипотенузу: АВ= 36+4 = 40. Выразим через катеты: х^2 + у^2 = 40^2

• Составим систему уравнений:

х^2 + у^2 = 40^2

y^2= 36^2+ z^2

x^2= z^2+4^2

•решаем:

z(СК)= 12, x (АС)= 4 квадратный корень из 10, у(CB)= 12 квадратный корень из 10

•найдём периметр треугольника:

Р = АС + ВС + АВ = 40 + 4 квадратный корень из 10 + 12 квадратный корень из 10 = 40 + 16 квадратный корень из 10

Ответ: катеты равны: 4 квадратный корень из 10, 12 квадратный корень из 10. Р= 40 + 16 квадратный корень из 10

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(AC\) и \(BC\), гипотенузу как \(AB\), а высоту как \(CH\). Также пусть отрезки, на которые высота делит гипотенузу, будут \(CH_1 = 4 \, \text{см}\) и \(CH_2 = 36 \, \text{см}\).

Из свойства подобных треугольников можно записать следующие отношения:

\[\frac{CH_1}{CH_2} = \frac{AC}{BC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{4}{36} = \frac{AC}{BC}\]

Теперь найдем отношение длин катетов:

\[\frac{1}{9} = \frac{AC}{BC}\]

Теперь у нас есть отношение длин катетов. Давайте представим длины катетов как \(k \cdot AC\) и \(k \cdot BC\), где \(k\) - некоторый коэффициент. Тогда:

\[AC = k \cdot AC\]

\[BC = k \cdot BC\]

С учетом того, что \(AC\) и \(BC\) - это катеты, мы можем сказать, что \(k = 1/9\). Теперь мы можем найти длины катетов:

\[AC = \frac{1}{9} \cdot AC\]

\[BC = \frac{1}{9} \cdot BC\]

Теперь мы можем выразить \(AC\) и \(BC\) через \(AC\) и \(BC\):

\[AC = \frac{1}{10} \cdot BC\]

\[BC = 9 \cdot AC\]

Теперь у нас есть отношение длин катетов и их значения.

Для нахождения периметра треугольника, мы можем воспользоваться формулой:

\[P = AC + BC + AB\]

Мы уже знаем значения \(AC\) и \(BC\), нам нужно найти длину гипотенузы \(AB\).

Мы знаем, что \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) (теорема Пифагора). Подставим значения:

\[AB^2 = \left(\frac{1}{10} \cdot BC\right)^2 + (9 \cdot AC)^2\]

Теперь мы можем найти \(AB\):

\[AB = \sqrt{\left(\frac{1}{10} \cdot BC\right)^2 + (9 \cdot AC)^2}\]

Теперь, когда у нас есть значения для \(AC\), \(BC\) и \(AB\), мы можем найти периметр \(P\):

\[P = AC + BC + AB\]