Question

Четырёхугольник ABCD таков, что ∠ABD=∠ACD=90∘, ∠CAD=39∘. Лучи CB и DA пересекаются в точке K. Известно, что BK=3, AD=6. Сколько градусов составляет угол BKA? Сколько градусов составляет угол BAC?

Answer 1

Ответ:

26°  и  38°

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим четырёхугольник ABCD и точку K более подробно.

Условие гласит, что \(\angle ABD = \angle ACD = 90^\circ\) и \(\angle CAD = 39^\circ\).

Также известно, что \(BK = 3\) и \(AD = 6\).

Рассмотрим треугольник BAK. У него два угла: \(\angle BAK\) и \(\angle BKA\).

Поскольку \(\angle BAK + \angle BKA = 180^\circ\) (сумма углов в треугольнике), мы можем выразить \(\angle BKA\) следующим образом:

\[\angle BKA = 180^\circ - \angle BAK\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCD. У него три угла: \(\angle BCD\), \(\angle ACD\), и \(\angle BDA\).

Поскольку \(\angle ACD = 90^\circ\) (дано в условии), мы можем выразить \(\angle BCD\) следующим образом:

\[\angle BCD = 180^\circ - \angle ACD\]

Теперь мы знаем, что \(\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).

Также у нас есть информация о том, что \(\angle CAD = 39^\circ\). Теперь мы можем найти угол \(\angle BDA\):

\[\angle BDA = 180^\circ - \angle BCD - \angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник BAK снова. У нас есть углы \(\angle BAK\) и \(\angle BKA\).

Мы знаем, что \(BK = 3\), а \(AD = 6\). Таким образом, \(BD = BK + KD + DA = 3 + KD + 6 = 9 + KD\), где \(KD\) - это отрезок между точками K и D.

Теперь, поскольку \(\angle ABD = 90^\circ\), мы можем использовать тригонометрию для нахождения \(KD\).

В прямоугольном треугольнике BDK:

\[\tan(\angle ABD) = \frac{BD}{BK}\]

\[\tan(90^\circ) = \frac{9 + KD}{3}\]

Так как \(\tan(90^\circ)\) бесконечен, это означает, что \(KD\) также бесконечен.

Таким образом, лучи CB и DA пересекаются в точке K так, что \(KD\) бесконечен, и треугольник BAK является прямым углом.

Теперь мы можем найти угол \(\angle BKA\):

\[\angle BKA = 180^\circ - \angle BAK = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\]

Таким образом, угол \(\angle BKA\) равен \(90^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник BAC. У нас есть углы \(\angle BAC\), \(\angle CAD\), и \(\angle BCA\).

Мы знаем, что \(\angle BAC = \angle CAD + \angle BCA\).

Подставим известные значения:

\[\angle BAC = 39^\circ + 90^\circ = 129^\circ\]

Таким образом, угол \(\angle BAC\) равен \(129^\circ\).

Итак, ответы: 1. Угол \(\angle BKA\) равен \(90^\circ\). 2. Угол \(\angle BAC\) равен \(129^\circ\).