Question

Стороны египетского треугольника равны 3,4,5. Через центр вписанной в него окружности перпендикулярно гипотенузе провели прямую. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника

Answer 1

Ответ:

$2\frac{1}{4}$ (ед.)

Объяснение:

Дано: ΔАВС - прямоугольный.

АС = 3; АВ = 4; ВС = 5.

Окр. O,r - вписанная.

ЕК ⊥ ВС.

Найти: ЕК.

Решение:

1. Рассмотрим АМОР.

∠А = 90° (условие);

• Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной.

⇒ ОР ⊥ АС; ОМ ⊥ АВ.

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ АМ || АР; АР || МО.

⇒ АМОР - прямоугольник.

• Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ АМ = АР; АР = МО.

МО = АР = r ⇒ АМ = АР = АР = МО.

⇒ АМОР  - квадрат.

2. Найдем r по формуле:

$\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}$ , где a и b - катеты, с - гипотенуза.

$\displaystyle r=\frac{3+4-5}{2}=1$

⇒ АМ = АР = АР = МО=1

3. Рассмотрим ΔАВС и ΔМВН - прямоугольные.

∠В - общий;

⇒ ΔАВС ~ ΔМВН (по двум углам).

Составим отношение сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{BM}{AB}=\frac{MH}{AC}\\\\\frac{4-1}{4}=\frac{MH}{3}\\\\MH=\frac{3*3}{4}=\frac{9}{4}$

4. Рассмотрим ΔЕМО и ΔОКН - прямоугольные.

МО = ОК = r

∠1 = ∠2 (вертикальные)

⇒ ΔЕМО = ΔОКН (по катету и острому углу)

⇒ ЕО = ОН (как соответственные элементы)

МО +ОН = ЕО + ОК = МН = $\frac{9}{4}$

⇒

$\displaystyle EK=2\frac{1}{4}$

Answer 2

Для решения данной задачи давайте обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a = 3, b = 4, c = 5.

Треугольник ABC — египетский треугольник, поэтому выполняется теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.

Имеем: \[3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.\]

Теперь рассмотрим вписанный в треугольник круг и проведенную через центр этого круга прямую, перпендикулярную гипотенузе. Эта прямая разбивает гипотенузу на две отрезка, давайте обозначим их как x и y.

Так как прямая проходит через центр вписанной окружности, она делит гипотенузу пополам. То есть, x = y.

Также, так как треугольник прямоугольный, мы можем использовать подобие треугольников. Отношение сторон треугольников равно отношению длин катетов. Обозначим катеты треугольников как a, b и c.

Таким образом, отношение x к a равно отношению y к b, и оно также равно отношению гипотенузы к c.

\[ \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{c}{c}.\]

Теперь мы можем записать уравнения для x и y:

\[ x = \frac{a \cdot c}{b} \]

\[ y = \frac{b \cdot c}{a} \]

Подставим значения a, b и c:

\[ x = \frac{3 \cdot 5}{4} = \frac{15}{4} \]

\[ y = \frac{4 \cdot 5}{3} = \frac{20}{3} \]

Таким образом, длина отрезка, заключенного внутри треугольника, равна \(\frac{15}{4} = 3.75\).