Question

Найдите угол между плоскостями-4х + 2у + 4z -5=0 и 2х - 2у + 3=0​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Найдём направляющие векторы плоскостей:

n1 = {-4;2;4}

n2  = {2;-2;3}

d = arccos$\frac{|A1 * A2 + B1*B2 + C1*C2|}{\sqrt{A1^2+B1^2+C1^2} * \sqrt{A2^2+B2^2+C2^2} }$ - угол между плоскостями

d = arccos$\frac{|(-4) * 2 + 2*(-2) + 4*3|}{\sqrt{(-4)^2+2^2+4^2} * \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2} }$

d = arccos$\frac{0}{\sqrt{36*17}} = \frac{0}{6\sqrt{17} } = 0$

d = arccos0 = cos90

Answer 2

Для того чтобы найти угол между двумя плоскостями, нам необходимо знать их нормальные векторы. Нормальный вектор плоскости - это вектор, перпендикулярный к плоскости и указывающий в направлении, отличном от плоскости.

Для первой плоскости -4x + 2y + 4z - 5 = 0, мы можем найти нормальный вектор, коэффициенты которого соответствуют коэффициентам перед переменными в уравнении плоскости. Таким образом, нормальный вектор первой плоскости будет (-4, 2, 4).

Для второй плоскости 2x - 2y + 3 = 0, нормальный вектор будет (2, -2, 0), так как коэффициент перед z равен 0.

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, мы можем использовать следующую формулу:

cos(θ) = (a · b) / (||a|| ||b||),

где a и b - нормальные векторы плоскостей, · обозначает скалярное произведение, и ||a|| и ||b|| обозначают длины векторов a и b соответственно.

Подставляя значения нормальных векторов плоскостей в формулу, получим:

cos(θ) = ((-4, 2, 4) · (2, -2, 0)) / (||(-4, 2, 4)|| ||(2, -2, 0)||).

Вычислим выражение:

((-4) * 2) + (2 * (-2)) + (4 * 0) / (sqrt((-4)^2 + 2^2 + 4^2) * sqrt(2^2 + (-2)^2 + 0^2)).

((-8) + (-4)) / (sqrt(16 + 4 + 16) * sqrt(4 + 4)).

-12 / (sqrt(36) * sqrt(8)).

-12 / (6 * 2).

-12 / 12 = -1.

Теперь мы можем найти значение угла θ, используя обратный косинус (арккосинус) функции:

θ = arccos(-1).

Угол между плоскостями будет:

θ = 180°.

Таким образом, угол между плоскостями -4x + 2y + 4z - 5 = 0 и 2x - 2y + 3 = 0 составляет 180°.