Question

Трапеция ABCD вписана в окружность радиуса 17. Высота трапеции равна 23. Найдите сумму оснований, если меньшее основание равно 16 и центр окружности лежит внутри трапеции.

Answer 1

Ответ: 46

Объяснение: во вложении

Answer 2

Решение:

Дано: - Трапеция ABCD вписана в окружность радиуса 17. - Высота трапеции равна 23. - Меньшее основание равно 16. - Центр окружности лежит внутри трапеции.

Мы можем решить эту задачу, используя свойства вписанных углов и треугольников.

Шаг 1: Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как точку O. Также обозначим точки пересечения диагоналей с окружностью как точки E и F (где E находится на большем основании, а F на меньшем основании).

Шаг 2: Рассмотрим треугольник AOE. Он является прямоугольным, так как диагональ AO является радиусом окружности, а OE - высотой трапеции. Значит, угол AEO прямой угол.

Шаг 3: Также из свойств вписанных углов мы знаем, что угол AFO также является прямым углом.

Шаг 4: Таким образом, у нас есть два прямых угла (AEO и AFO) и два двугранных угла (EOA и FOA) в треугольнике AEF.

Шаг 5: Из свойства треугольника, сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. Значит, сумма углов AEO и AFO равна 180 градусов.

Шаг 6: Угол AEO равен 90 градусов, так как он прямой. Значит, угол AFO также равен 90 градусов.

Шаг 7: Таким образом, сумма углов AEO и AFO равна 180 градусов, и мы можем заключить, что угол EAF также равен 180 градусов.

Шаг 8: Отсюда следует, что угол EAF является прямым углом.

Шаг 9: Так как угол EAF прямой, то треугольник AEF - прямоугольный.

Шаг 10: Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали AE.

В треугольнике AEF: - AE - гипотенуза - EO - одна из катетов - AF - другой катет

Шаг 11: Отсюда, по теореме Пифагора, получаем:

AE^2 = EO^2 + AF^2

Шаг 12: Подставим известные значения:

AE^2 = 23^2 + (17 - 16)^2

AE^2 = 529 + 1

AE^2 = 530

Шаг 13: Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:

AE = sqrt(530)

Шаг 14: Так как EO является радиусом окружности и равен 17, мы можем записать:

AE = 2 * EO

sqrt(530) = 2 * 17

sqrt(530) = 34

Шаг 15: Теперь, чтобы найти сумму оснований трапеции (AB + CD), мы можем использовать следующее свойство: вписанные углы, образованные дугами на противоположных сторонах трапеции, равны.

Шаг 16: Дуги на противоположных сторонах трапеции обозначим как α и β. Тогда мы можем записать:

α = β

Шаг 17: Заметим, что угол AEO и угол AFO являются прямыми, так как они образованы диагоналями и хордами окружности.

Шаг 18: Угол AEO и угол AFO являются вписанными углами, образованными дугами α и β соответственно.

Шаг 19: Из свойства, углы, образованные дугами на противоположных сторонах трапеции, равны. Значит, угол AEO равен углу AFO.

Шаг 20: Таким образом, треугольники AEO и AFO являются подобными.

Шаг 21: Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.

Шаг 22: Мы можем записать:

AE / EO = AF / FO

Шаг 23: Подставим известные значения:

sqrt(530) / 17 = AF / (16 - AF)

Шаг 24: Решим полученное уравнение:

(sqrt(530) / 17) * (16 - AF) = AF

sqrt(530) * (16 - AF) = 17 * AF

16sqrt(530) - sqrt(530) * AF = 17 * AF

16sqrt(530) = 18AF

AF = (16sqrt(530)) / 18

Шаг 25: Теперь, чтобы найти сумму оснований трапеции (AB + CD), мы можем записать:

AB + CD = AF + AF

AB + CD = (16sqrt(530)) / 18 + (16sqrt(530)) / 18

AB + CD = 2 * (16sqrt(530)) / 18

AB + CD = 32sqrt(530) / 18

Шаг 26: Упростим выражение:

AB + CD = 16sqrt(530) / 9

Ответ: Сумма оснований трапеции AB + CD равна 16sqrt(530) / 9.