Question

. Даны две окружности с радиусами 4см и 8 см. Некоторая прямая касается этих окружностей в точках К и М соответственно. КМ=5 см. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Answer 1

Ответ:

Соединив центры K и М окружностей

между собой и каждый из них с точкой

касания, получим два треугольника с

общей вершиной в точке А на отрезке между

точками касания окружностей с прямой.

Радиус, проведенный к касательной

в точку касания, перпендикулярен ей

( свойство),

Получившиеся прямоугольные треугольники

подобны по равным вертикальным углам и

накрестлежащим у их центров.

Пусть радиус меньшей окружности будет r,

а большей - R, и пусть часть отрезка между

их точками касания у меньшей окружности

будет х.

Тогда отрезок у большей окружности 5-х

( см. рисунок)

Тогда из подобия треугольников следует

отношение:

r:R=x:(5-x)

4:8=x:(5-x)

8х=20-4x

12x=20

х=5/3- длина отрезка у меньшей окружности

5-5/3=10/3 длина отрезка у большей

окружности

По т.Пифагора

KA2=42+(5/13)2

KA2=16+25/9=169/9

KA=13/3

Из треугольника в большей окружности

MA2=82+(10/3)2=676/9

MA=26/3

KA+MA=13/3+26/3=39/3=13

KM=13 см

наверное так

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о касательной, проведенной к окружности.

Известно, что прямая КМ является касательной к обеим окружностям. Также известно, что КМ = 5 см.

Расстояние от центра окружности до точки касания касательной равно радиусу окружности. Обозначим расстояние от центра первой окружности до точки К как r1, а от центра второй окружности до точки М как r2.

Таким образом, имеем: r1 = 4 см (радиус первой окружности) r2 = 8 см (радиус второй окружности) КМ = 5 см

Согласно теореме о касательной, треугольники КО1М и МО2К подобны, где О1 и О2 - центры соответствующих окружностей.

Из подобия треугольников следует, что соотношение сторон треугольников равно соотношению соответствующих сторон. То есть:

КМ/МО1 = МК/КО2

Подставляя известные значения, получаем:

5/4 = 5/О2К

Переставляя члены уравнения, получаем:

О2К = 5 * 4 / 5 = 4 см

Таким образом, расстояние между центрами окружностей, то есть длина отрезка О1О2, равно 4 см.