Question

Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а) соответственные углы равны, б) сумма односторонних равна 180°​

Answer 1

а) Рассмотрим например что соответственные углы 1 и 2 не равны.

Начертим ещё одну прямую так, чтобы ∠1 был равен ∠2, но по теореме о параллельных прямых, утверждение не верно → соответственные углы равны.

б) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с (см. рис. 102). Докажем, например, что ∠1+∠4=180°. Так как allb, то соответственные углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому ∠2+∠4=180°. Из равенств ∠1=∠2 и ∠2+∠4=180° следует, что ∠1+∠4=180°.

Answer 2

Доказательство при пересечении двух параллельных прямых секущей:

a) Соответственные углы равны:

Пусть у нас есть две параллельные прямые, обозначим их как AB и CD. Пусть также у нас есть секущая прямая EF, которая пересекает AB и CD в точках E и F соответственно. Мы хотим доказать, что углы ∠AEC и ∠DFB равны.

Доказательство:

1. По условию, AB и CD - параллельные прямые. Значит, у них соответственные углы равны.

2. Пусть G - точка пересечения EF и AB, а H - точка пересечения EF и CD.

3. Так как EF пересекает AB и CD, у нас есть две пары вертикальных углов: ∠AEG равен ∠FHB и ∠CEG равен ∠DHF.

4. Также, ∠HEB и ∠GFA - соответственные углы, так как они образованы пересечением прямой EF и параллельных прямых AB и CD.

5. По теореме о сумме углов в треугольнике, сумма углов в треугольнике EFG равна 180°.

6. Из пункта 3 мы знаем, что ∠AEG равен ∠FHB и ∠CEG равен ∠DHF. Значит, углы в треугольнике EFG между прямыми AB и CD равны.

7. Из пункта 4 мы знаем, что ∠HEB равен ∠GFA. Значит, углы в треугольнике EFG между прямыми AB и CD равны.

8. Из пунктов 6 и 7 следует, что ∠AEC равен ∠DFB.

Таким образом, мы доказали, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

b) Сумма односторонних углов равна 180°:

Пусть у нас есть две параллельные прямые, обозначим их как AB и CD. Пусть также у нас есть секущая прямая EF, которая пересекает AB и CD в точках E и F соответственно. Мы хотим доказать, что сумма односторонних углов ∠AED и ∠DFC равна 180°.

Доказательство:

1. По условию, AB и CD - параллельные прямые. Значит, у них соответственные углы равны.

2. Пусть G - точка пересечения EF и AB, а H - точка пересечения EF и CD.

3. Так как EF пересекает AB и CD, у нас есть две пары вертикальных углов: ∠AEG равен ∠FHB и ∠CEG равен ∠DHF.

4. Также, ∠AED и ∠DFC - смежные углы, так как они образованы пересечением прямой EF и параллельных прямых AB и CD.

5. Из пункта 3 мы знаем, что ∠AEG равен ∠FHB и ∠CEG равен ∠DHF. Значит, смежные углы ∠AED и ∠DFC равны.

6. По теореме о сумме углов в треугольнике, сумма углов в треугольнике EFG равна 180°.

7. Из пункта 4 мы знаем, что ∠AED и ∠DFC - смежные углы. Значит, сумма углов в треугольнике EFG между прямыми AB и CD равна 180°.

Таким образом, мы доказали, что при пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°.