Question

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4 см. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, длина отрезка, несмежного с известным катетом, – 6 см. Длинна второго катета и гипотенузы?

Answer 1

Ответ: 8 см; 4√3 см

Объяснение:    

   Пусть в ∆ АВС угол В=90°, АВ=4, ВН - высота, АН - проекция АВ на гипотенузу, СН - проекция ВС на гипотенузу.

    Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному.

∆ АВН~∆АВС.

АН:АВ=АВ:АС

Примем АН=х.=>

х:4=4:(х+6) , =>  квадратное уравнение х²+6х-16.

Решив его найдем х₁=2, х₁=-8( не удовлетворяет условию, т.к. длина отрицательной быть не может).

Следовательно, гипотенуза АС=АН+НС=2+6=8 см.

ВС можно теперь вычислить по т.Пифагора или

аналогично предыдущему из подобия ∆ НВС и ∆ АВС

 ВС:АС=НС:ВС

ВС:8=6:ВС=>

ВС²=8•6

ВС=4√3

———

Данным решением доказано свойство катета, которое полезно запомнить:     Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Answer 2

Давайте обозначим известные величины: пусть один из катетов равен 4 см, длина отрезка гипотенузы, несмежного с известным катетом, равна 6 см.

Так как высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, то мы можем использовать подобие треугольников для нахождения длины второго катета и гипотенузы.

Пусть x - длина второго катета, а h - длина гипотенузы.

Тогда, используя подобие треугольников, мы можем записать следующие пропорции:

4/x = 6/h и 4/6 = x/h

Из первой пропорции мы можем выразить x через h: x = 6*4/h

Подставляя это выражение во вторую пропорцию, получаем:

4/6 = 6*4/h

Отсюда можем найти значение h:

h = 6*4/(4/6) = 24/0.67 ≈ 35.82 см

Теперь, зная значение h, можем найти значение x:

x = 6*4/35.82 ≈ 0.67 см

Итак, длина второго катета примерно равна 0.67 см, а длина гипотенузы примерно равна 35.82 см.