Question

Через вершину А правильного треугольника АВС проведена плоскость α параллельно стороне ВС так, что сторона АС составляет с этой плоскостью угол в 30°. Найдите длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α, если АВ = 12 см.

Answer 1

Ответ:

Длина проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α равна 6√2 см.

Объяснение:

Требуется найти длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α.

Дано: ΔАВС - равносторонний;

А ∈ α;  ВС || α;

АВ = 12 см;

сторона АС составляет с плоскостью  α угол в 30°;

Найти: AD₁

Решение:

1. Рассмотрим ΔСАС₁ - прямоугольный.

• Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

⇒ ∠САС₁ = 30°;

АС = 12 см;

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ СС₁ = АС : 2 = 12 : 2 = 6 (см)

2. Рассмотрим ΔАВС - равносторонний.

AD - медиана, высота.

⇒ DC = BC : 2 = 12 :2 = 6 (см)

3. Рассмотрим ΔADC - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

AD² = AC² - DC²

AD² = 144 - 36 = 108

AD = √108 = 6√3 (см)

3. Рассмотрим DCC₁D₁

DD₁ ⊥ α; CC₁ ⊥ α   ⇒ DD₁ || CC₁

BC || α ⇒ BC || B₁C₁

⇒ DCC₁D₁ - параллелограмм.

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ DD₁ = CC₁ = 6 см

4. Рассмотрим ΔADD₁ - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

AD₁² = AD² - DD₁² = 108 - 36 = 72

AD₁ = √72 = 6√2 (см)

Длина проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α равна 6√2 см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства правильного треугольника и геометрических соотношений.

Шаг 1: Найдем длину стороны AC треугольника ABC. Поскольку треугольник ABC - правильный, все его стороны равны. Пусть длина стороны AC равна x.

Шаг 2: Мы знаем, что сторона AC треугольника ABC составляет угол в 30 градусов с плоскостью α. Для того чтобы найти проекцию медианы AD на плоскость α, нам нужно найти длину отрезка, который соединяет вершину A с серединой стороны BC и перпендикулярен плоскости α.

Шаг 3: Разделим сторону BC пополам и обозначим середину этой стороны как точку M. Так как треугольник ABC - правильный, то точка M также является серединой медианы AD.

Шаг 4: Обозначим проекцию точки M на плоскость α как точку N. Мы хотим найти длину отрезка MN.

Шаг 5: Так как плоскость α параллельна стороне BC, отрезок MN перпендикулярен стороне BC. Также, поскольку треугольник ABC - правильный, отрезок MN является высотой треугольника ABC.

Шаг 6: Используя геометрические соотношения в правильном треугольнике, мы можем найти длину MN. В правильном треугольнике высота, проведенная из вершины, делит сторону на две части в соотношении 2:1. Таким образом, длина MN составляет 1/3 от длины высоты треугольника.

Шаг 7: Найдем длину высоты треугольника ABC. Высота треугольника ABC - это отрезок, проведенный из вершины A к основанию BC, перпендикулярно BC. В правильном треугольнике высота проходит через центр треугольника и делит его на два равных отрезка. Таким образом, высота треугольника ABC - это диаметр окружности, вписанной в треугольник.

Шаг 8: Найдем длину высоты треугольника ABC. Для этого мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности в правильном треугольнике: R = (a * √3) / 3, где a - длина стороны треугольника. В нашем случае a = 12 см, поэтому радиус R будет равен (12 * √3) / 3.

Шаг 9: Найдем длину высоты треугольника ABC, используя радиус R: H = 2R = 2 * (12 * √3) / 3 = 8√3 см.

Шаг 10: Теперь мы можем найти длину отрезка MN, который является 1/3 высоты треугольника: MN = (1/3) * H = (1/3) * (8√3) = (8/3)√3 см.

Таким образом, длина проекции медианы AD треугольника ABC на плоскость α составляет (8/3)√3 см.