Question

БУДУ БЛАГОДАРЕН ( ͡° ͜ʖ ͡°) Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраныточки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точ-ке K. Пусть P — центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q — центр вневписаннойокружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABCокружности Ω равноудалена от точек P и Q.​

Answer 1

Ответ:

Условие

Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.

Решение

Пусть S – середина дуги ABC окружности Ω. Тогда SA = SC, AM = CN и ∠BCS = ∠BAS. Значит, треугольники AMS и CNS равны, и они совмещаются поворотом Ф с центром в точке S на угол ∠ASC = ∠ABC. Отсюда, в частности, следует, что SM = SN и ∠MSN = ∠ABC. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Из последнего равенства углов следует, что четырёхугольник MSBN вписан в некоторую окружность γ (см. рис.).

Описанные окружности Ωa и Ωc треугольников AMS и CNS, также совмещаются поворотом Ф. Пусть U и V – середины дуг AM и CN (не содержащих S) этих окружностей. Тогда SU = SV (то есть точка S лежит на серединном перпендикуляре к UV) и UA = VC. Из окружностей Ω и γ имеем

∠SAK = ∠SBC = ∠SMK, то есть K лежит на Ωa. Аналогично K лежит на Ωc.

Отсюда следует, что точки U и V вместе с точками P и Q лежат на биссектрисе угла ∠CKN. По лемме о трезубце для треугольников KAM и KCN (см. задачу 55381) UP = UA и VQ = VC. Так как UA = VC, это означает, что точки P и Q симметричны относительно серединного перпендикуляра к UV, на котором лежит точка S. Значит, S равноудалена от P и Q.

Второй способ. Пусть R и T – середины отрезков AC и MN соответственно. Из равнобедренных треугольников SAC и SMN имеем ∠SRK = ∠STK = 90°, то есть точки R и T лежат на окружности Г с диаметром SK. Пусть Г вторично пересекает биссектрису KQ угла AKM в точке D. Тогда DR = DT и ∠ARD = ∠DTN.

Пусть P1 и P2 – точки касания вписанной окружности треугольника AKM с прямыми KA и KM соответственно, а Q1 и Q2 – точки касания вневписанной окружности треугольника CKN с теми

Answer 2

Для начала рассмотрим утверждение, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q. Для доказательства этого утверждения, обратимся к свойствам центров вписанной и вневписанной окружностей треугольников AMK и CNK.

Пусть I1 - центр вписанной окружности треугольника AMK, а I2 - центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Также пусть O - центр окружности Ω.

Так как точки M и N выбраны на сторонах AB и BC так, что AM = CN, то угол AMK равен углу CNK. Это означает, что треугольники AMK и CNK подобны, и их центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на одной прямой, проходящей через точку K.

Таким образом, точки I1, I2 и O лежат на одной прямой, проходящей через точку K. Поскольку O - центр окружности Ω, то O также является серединой дуги ABC.

Теперь обратимся к свойству центров вписанной и вневписанной окружностей треугольника CNK. Пусть J - точка касания вневписанной окружности со стороной CN. Тогда, по свойству вневписанной окружности, точка J также лежит на прямой, проходящей через точки I2, C и K.

Таким образом, точки I2, J и K лежат на одной прямой.

Из полученных результатов следует, что точки I1, I2, O, J и K лежат на одной прямой. Следовательно, середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.