Question

тупий кут паралелограма дорівнює 135°. Діагональ паралелограма ділить його у відношенні 1:2. знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 60см

Answer 1

Відповідь: 30(√2 - 1) см.

_________________________________________

Дано:

ABCD — паралелограм;

∠ABC = 135°;

∠CBD : ∠DBA = 1 : 2;

$P_{ABCD}$ = 60см.

Знайти:

BD.

                                        Розв'язання:

Кути, на які діагональ BD ділить ∠ABC, відносяться як 1 : 2. Якщо коефіцієнт пропорційності дорівнює k, то ∠CBD = k, ∠DBA = 2k. Так як ∠ABC = 135°, маємо рівняння:

k + 2k = 135

3k = 135

k = 135 : 3

k = 45

∠DBA = 2 · 45 = 90.

Значить, ΔABD є прямокутним.

Сума кутів паралелограма, що лежать на одній стороні, складає 180°, тому: ∠BAD = 180 - 135 = 45°.

Коли в прямокутного трикутника один з гострих кутів дорівнює 45°, цей трикутник є рівнобедреним.

Тому AB = BD.

Позначимо їх за х. Тоді за теоремою Піфагора:

AD² = x² + x² = 2x²

AD = $\sqrt{2x^2}= x\sqrt{2}$ (см).

У паралелограма протилежні сторони рівні. Зважаючи на це, можемо записати формулу його периметру:

$P_{ABCD}$ = 2(AD + AB) = 2(х√2 + x)

Нам відомо, що периметр дорівнює 60 см, тож:

2(х√2 + x) = 60

х√2 + x = 60 : 2

х√2 + x = 30

Винесемо спільний множник за дужки:

х(√2 + 1) = 30

Виразимо х:

$\displaystyle x = \frac{30}{\sqrt{2} +1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменику дробу. Можна доповнити його до формули (a + b)(a - b) = a² - b². Для цього слід і чисельник, і знаменик помножити на вираз (√2 - 1):

$\displaystyle x = \frac{30}{\sqrt{2} +1 } =\frac{30(\sqrt{2}-1) }{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) } = \frac{30(\sqrt{2}-1) }{(\sqrt{2})^2 - 1^2 } = \frac{30(\sqrt{2}-1)}{2-1}= 30(\sqrt{2}-1)$.

Значить, BD = 30(√2 - 1) см.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам потрібно розуміти властивості паралелограма і використати їх для знаходження діагоналі.

Властивості паралелограма

1. Протилежні сторони паралелограма рівні. 2. Протилежні кути паралелограма рівні. 3. Діагоналі паралелограма діляться ним на дві рівні частини.

Знаходження діагоналі

Діагональ паралелограма ділить його на дві рівні частини. За умовою задачі, ця діагональ ділитьться у відношенні 1:2. Це означає, що одна частина діагоналі дорівнює 1 одиниці, а інша частина - 2 одиниці.

Позначимо діагоналі паралелограма як d1 і d2. Відповідно, можна записати наступні рівності: d1 + d2 = 60 (периметр паралелограма) d1 : d2 = 1 : 2

Ми знаємо, що периметр паралелограма дорівнює 60 см, тому можемо записати рівність: 2(d1 + d2) = 60

Розкриваємо дужки: 2d1 + 2d2 = 60

Тепер використаємо другу рівність, щоб виразити одну змінну через іншу: d1 = (1/3)d2

Підставляємо це значення в попередню рівність: 2((1/3)d2) + 2d2 = 60

Спрощуємо вираз: (2/3)d2 + 2d2 = 60

Знаходимо спільний знаменник: (2d2 + 6d2)/3 = 60

Складаємо подібні доданки: 8d2/3 = 60

Множимо обидві частини на 3, щоб позбавитись від знаменника: 8d2 = 180

Розділяємо обидві частини на 8: d2 = 180/8 = 22.5

Тепер, коли ми знаємо значення d2, можемо знайти d1, використовуючи другу рівність: d1 = (1/3)d2 = (1/3) * 22.5 = 7.5

Отже, довжина однієї діагоналі паралелограма дорівнює 7.5 см, а іншої - 22.5 см.