Question

Из точки М к окружности с центром О проведены касательные ма и МБ Найдите расстояние между точками касания A и B если угол АОВ равен 120° и мо равно 16 см​

Answer 1

Ответ:

Расстояние между точками касания A и B равно 8√3 см.

Объяснение:

Требуется найти расстояние между точками касания A и B.

Дано: Окр.О;

МА и МВ - касательные;

∠АОВ = 120°; МО = 16 см.

Найти: АВ.

Решение:

1. Рассмотрим ΔАМО и ΔОМВ.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ΔАМО и ΔОМВ - прямоугольные.

• Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

⇒ МА = МВ.

ОМ - общая.

ΔАМО = ΔОМВ (по гипотенузе и катету)

⇒ ∠АОМ = ∠МОВ = 120° : 2 = 60° (как соответственные элементы)

2. Рассмотрим ΔАМО - прямоугольный;

∠АОМ = 60°

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠1 = 90° - 60° = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ АО = МА :2 = 16 :2 = 8 (см)

По теореме Пифогора:

⇒ АМ² = МО² - ОА² = 256 - 64 = 192

АМ = √192 = 8√3 (см)

3. Рассмотрим ΔАМК и ΔКМВ.

АМ = МВ (отрезки касательных)

МК - общая;

• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

∠1 = ∠2

ΔАМК = ΔКМВ (по 1 признаку)

⇒ АК = КВ; ∠АКМ = ∠МКВ (как соответственные элементы)

• Смежные углы в сумме равны 180°.

⇒  ∠АКМ = ∠МКВ = 180° : 2 = 90°

ΔАМК и ΔКМВ - прямоугольные.

⇒ АК = АМ : 2 = 8√3 : 2 = 4√3 (см) (катет, лежащий против угла 30°)

⇒ АВ = 4√3 · 2 = 8√3 (см)

Расстояние между точками касания A и B равно 8√3 см.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства касательных к окружности.

Известно, что касательная к окружности проведенная из точки касания касается окружности под прямым углом. Это значит, что угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов.

По условию задачи угол АОВ равен 120 градусов, что значит, что угол между касательной и радиусом равен 120 градусов. Таким образом, угол между касательной и радиусом в точке касания равен 120 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения расстояния между точками касания A и B. Для этого нам понадобится найти длину радиуса окружности.

Мы знаем, что мо (длина радиуса) равна 16 см. Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины отрезка AB.

Так как угол между касательной и радиусом в точке касания равен 120 градусов, то у нас есть правильный треугольник, в котором известна длина радиуса (16 см) и угол (120 градусов).

Используя тригонометрические функции, мы можем найти длину отрезка AB:

AB = 2 * mo * sin(120°/2) = 2 * 16 * sin(60°) = 2 * 16 * √3 / 2 = 16 * √3

Таким образом, расстояние между точками касания A и B равно 16 * √3 см.