Question

1) В параллелограмме АБСД высоты равны 8 см и 12 см. Углы параллелограмма относятся , как 1:5. Найдите площадь фигуры. 2) Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор радиуса 8 и дугой 270°. В этот конус вписан шар. Найдите радиус шара.

Answer 1

Ответ:

1) Площадь фигуры равна 192 см².

2) Радиус шара равен $\displaystyle 6\sqrt{\frac{1}{7} }$ ед.

Объяснение:

1) Требуется найти площадь фигуры.

2) Найти радиус шара.

1)

Дано: АВСD - параллелограмм;

ВО = 8 см; ВР = 12 см - высоты;

∠А : ∠В = 1 : 5.

Найти: S (АВСD)

Решение:

1. ∠А + ∠В = 180° (односторонние при AD || BC и секущей АВ)

∠А : ∠В = 1 : 5

Пусть ∠А = х; тогда ∠В = 5х.

х + 5х = 180°

х = 30°

⇒ ∠А = 30°; ∠В = 150°

2. Рассмотрим ΔАВО - прямоугольный.

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ АВ = 2 ВО = 16 см.

3. Рассмотрим ΔРВС - прямоугольный.

• Противоположные углы параллелограмма равны.

⇒ ∠С = ∠А = 30°.

ВС = 2 ВР = 24 см.

4. Площадь параллелограмма найдем по формуле:

S = ab·sinα, где a и b - стороны, α - угол между ними.

S (АВСD) = АВ · AD · sin 30° = 16 · 24 ·0,5 = 192 (см²)

Площадь фигуры равна 192 см².

2)

Дано: конус;

Развертка - сектор;

AB = 8 - радиус сектора;

Дуга сектора = 270°.

Вписан шар в конус.

Найти: R шара.

Решение:

1. Найдем длину окружности конуса.

Она будет равна длине дуги сектора:

$\displaystyle \boxed { l=\frac{\pi rn}{180^0}}$ , где r - радиус сектора, n - градусная мера дуги сектора.

$\displaystyle l=\frac{\pi \cdot8\cdot270^0}{180^0} =12\pi _{}$

2. Найдем радиус основания конуса.

Длина окружности равна:

$\displaystyle \boxed { L=2\pi R }$

$\displaystyle 12\pi =2\pi R\\\\2R=12\\\\R=6$

3. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

АВ = ВС = 8

АС = 2R = 12

4. Найдем радиус шара.

Радиус шара будет равен радиусу вписанной Окр.К в ΔАВС.

$\displaystyle \boxed {R=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } }$ , где a, b, c - стороны треугольника, р - полупериметр.

р = (8 + 8 + 12) : 2 = 14

$\displaystyle R=\sqrt{\frac{(14-8)(14-8)(14-12)}{14} } =6\sqrt{\frac{1}{7} } =\frac{6\sqrt{7} }{7}$

Радиус шара равен $\displaystyle 6\sqrt{\frac{1}{7} }$ ед.

Answer 2

1) Вычисление площади параллелограмма:

Для вычисления площади параллелограмма необходимо знать длину одной из его сторон и высоту, проведенную к этой стороне. По условию известны две высоты: 8 см и 12 см. Также известно, что углы параллелограмма относятся как 1:5.

Давайте обозначим стороны параллелограмма как a и b, а углы как α и β. Тогда площадь параллелограмма S вычисляется по формуле: S = a * h,

где h - высота параллелограмма.

Также известно, что углы α и β относятся как 1:5, следовательно α = x, β = 5x.

Из геометрических свойств параллелограмма следует, что стороны a и b соответственно равны высотам, проведенным к этим сторонам.

Теперь мы можем составить систему уравнений: a = 8, b = 12, α = x, β = 5x.

Система уравнений: a = 8, b = 12, a * sin(α) = h, b * sin(β) = h, α : β = 1 : 5.

Решив систему уравнений, найдем значения сторон a и b, и затем площадь параллелограмма.

2) Нахождение радиуса вписанного шара в конус:

Для нахождения радиуса вписанного шара в конус, задачу можно решить, используя геометрические свойства конуса и шара.

Давайте обозначим радиус шара как r, а радиус конуса как R. Тогда для данной задачи нам понадобится использовать соотношение между радиусами шара и вписанного в него конуса.

По условию известно, что развёрткой боковой поверхности конуса является сектор радиуса 8 и дугой 270°. Также известно, что в этот конус вписан шар.

Для нахождения радиуса шара r можно воспользоваться формулой, связывающей радиус вписанного шара и радиус конуса: r = (2/3) * R.

Теперь, зная радиус конуса R, мы можем подставить его в формулу и вычислить радиус вписанного шара r.

Решив обе задачи, мы получим искомые значения площади параллелограмма и радиуса вписанного шара.