Question

Известно, что sin∠А + cos∠А = 0,5. Найдите sin∠А ∙cos∠А.​

Answer 1

Ответ:

$\sin(\angle A) + \cos(\angle A) = \frac{1}{2} \\ {( \sin(\angle A) + \cos(\angle A) }^{2} = {( \frac{1}{2}) }^{2} \\ \sin^{2} (\angle A) + 2 \sin(\angle A) \cos(\angle A) + \cos^{2} (\angle A) = \frac{1}{4}$

Тригонометрическое тождество: $sin^2(\angle A)+cos^2(\angle A)=1$

Поэтому:

$1 + 2 \sin(\angle A) \cos(\angle A) = \frac{1}{4} \\ 2 \sin(\angle A) \cos(\angle A) = \frac{1}{4} - 1 \\ 2 \sin(\angle A) \cos(\angle A) = - \frac{3}{4} \\ \sin(\angle A) \cos(\angle A) = - \frac{3}{8}$

Answer 2

sin∠А + cos∠А = 0,5

(sin∠А + cos∠А)² = 0,25
(sin∠А + cos∠А)² - 2·sin∠А ∙cos∠А= sin²∠А + 2·sin∠А ∙cos∠A + cos²∠А - 2·sin∠А ∙cos∠А = sin²∠А + cos²∠А = 1
0,25 - 2·sin∠А ∙cos∠А = 1
2·sin∠А ∙cos∠А = -0.75

sin∠А ∙cos∠А=-0.375

Answer 3

Для решения данной задачи, мы можем использовать тригонометрическое тождество, известное как формула двойного угла для синуса.

Формула двойного угла для синуса гласит: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

В данном случае, у нас дано, что sin(θ) + cos(θ) = 0,5.

Мы можем использовать данное равенство, чтобы выразить sin(θ) и cos(θ), и затем подставить их в формулу двойного угла для синуса.

Давайте найдем значения sin(θ) и cos(θ):

sin(θ) + cos(θ) = 0,5

Мы знаем, что sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 (тождество Пифагора для тригонометрических функций)

Теперь мы можем использовать это равенство, чтобы выразить sin^2(θ) и cos^2(θ) через sin(θ) и cos(θ):

sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ)

Подставим это в исходное уравнение:

(1 - cos^2(θ)) + cos(θ) = 0,5

Раскроем скобки:

1 - cos^2(θ) + cos(θ) = 0,5

Перенесем все члены в одну сторону:

cos^2(θ) - cos(θ) + 0,5 - 1 = 0

cos^2(θ) - cos(θ) - 0,5 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(θ). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение.

cos(θ) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае:

a = 1, b = -1, c = -0,5

cos(θ) = (1 ± √((-1)^2 - 4 * 1 * (-0,5))) / (2 * 1)

cos(θ) = (1 ± √(1 + 2)) / 2

cos(θ) = (1 ± √3) / 2

Теперь, когда у нас есть значения cos(θ), мы можем вычислить sin(θ) с использованием исходного уравнения:

sin(θ) + cos(θ) = 0,5

sin(θ) = 0,5 - cos(θ)

Подставим значения cos(θ):

sin(θ) = 0,5 - (1 ± √3) / 2

Теперь, чтобы найти sin(θ) * cos(θ), мы можем использовать формулу двойного угла для синуса:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

sin(2θ) = 2(0,5 - (1 ± √3) / 2)(1 ± √3) / 2

sin(2θ) = (1 ± √3) - (1 ± √3)^2 / 2

sin(2θ) = (1 ± √3) - (1 ± 2√3 + 3) / 2

sin(2θ) = (1 ± √3) - (4 ± 2√3) / 2

sin(2θ) = (1 - 4 ± √3 - 2√3) / 2

sin(2θ) = (-3 ± √3 - 2√3) / 2

sin(2θ) = (-3 - √3 - 2√3) / 2 or sin(2θ) = (-3 + √3 - 2√3) / 2

Таким образом, sin(θ) * cos(θ) равняется (-3 - √3 - 2√3) / 2 или (-3 + √3 - 2√3) / 2, в зависимости от значения cos(θ) ( (1 - √3) / 2 или (1 + √3) / 2 соответственно).