Question

  В  правильной  четырехугольной  призме  ABCDA1B1C1D1   сторона  основания  AB   равна  6,  а  боковое  ребро  AA1   равно  4 корень из 3 .  На  ребрах  AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки  M , N  и  K  соответственно, причем  1 =AM = A1N=C1K а)    Пусть  L   ‐  точка  пересечения  плоскости  MNK   с  ребром  BC .  Докажите,  что  MNKL  ‐ квадрат  б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью   MNK . 

Answer 1

 Плоскости оснований  призмы параллельны. Следовательно,  плоскость MNK пересекает их по параллельным прямым ( свойство), и МL параллельно NK. 

ВМ=ND1=KD1=5. Треугольник ND1K равнобедренный,  ⇒ 

NK=ND1:sin45°=5√2 ( или по т.Пифагора). Аналогично ML=5√2 

а) Опустим из N перпендикуляр NH на АD.

AH=A1N=1, треугольник МАН равнобедренный – MH=√2. 

 NH=AA1=4√3 – из прямоугольного ∆ МНN  гипотенуза 

MN=(√(NH²+MH²)=√50=5√2 ⇒ MNKL - ромб. 

Треугольник АМН равнобедренный, MBL- равнобедренный, ⇒ ML ║АС,  МН ⊥ АС ⇒

HM⊥ML. По т. о 3-х перпендикулярах MN ⊥ML. 

Аналогично КL перпендикулярна ML. ⇒ 

углы MNKL прямые, он - квадрат. 

б) Продлим ML  в обе стороны до пересечения с прямыми . DA и DC в точках Р и Е соответственно.  Точки N и Р принадлежат плоскости АА1В1В, их можно соединить. Точки К и Е принадлежат плоскости DD1C1D, соединим их. Плоскость NPЕК  пересечет АА1 в точке Т, а СС1 в точке R. 

 Соединим Т с N и М, R с К и L. Шестиугольник MTNKRL  - сечение, площадь которого надо найти. Искомая площадь состоит из суммы площадей квадрата MNKL и площадей треугольников MTN и KRL.

Рассмотрим прямоугольный ∆ РАМ. Он подобен равнобедренному прямоугольнику МВL, следовательно, РА=АМ=1.

∆ ATP=∆ A1TN по катету и острому вертикальному углу при вершине Т. Следовательно, Т – середина АА1. AM=A1N, ⇒ ∆ АМT=∆ A1NT, откуда следует МТ=NT. Аналогично  R – середина СС1, и KR=LR. 

S ∆ PMN=S ∆ KLE = NM•PМ:2

Треугольник РАМ равнобедренный, след. РМ=АМ:sin45°=√2

S PMN=5√2•√2=5

Так как МТ - медиана, площадь треугольника MTN=5:2, а сумма площадей  равных ∆ MTN и ∆ KRL равна 5 

SMNKL=(5√2)²=50 

S MTNKRL= 50+5=55 (ед площади).

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся основными свойствами параллелограммов и треугольников.

а) Для доказательства того, что MNKL является квадратом, нужно показать, что его стороны параллельны и равны друг другу.

Поскольку 1 = AM = A1N = C1K, мы имеем: AM = A1N = C1K = 1.

Рассмотрим треугольник AMN. У него две равные стороны (AM = A1N) и угол между ними (угол AMN) равен 90 градусов, поскольку MNK является плоскостью, перпендикулярной основанию ABCD призмы. Следовательно, треугольник AMN - прямоугольный.

Рассмотрим треугольник CNK. У него также две равные стороны (C1K = 1) и угол между ними (угол CNK) равен 90 градусов. Следовательно, треугольник CNK - прямоугольный.

Теперь докажем, что стороны MNKL параллельны:

MN || KL, так как обе эти стороны параллельны основанию ABCD призмы.

NK || ML, так как обе эти стороны параллельны ребру A1D1 призмы.

Таким образом, мы доказали, что стороны MNKL параллельны и равны друг другу. Следовательно, MNKL является квадратом.

б) Чтобы найти площадь сечения призмы плоскостью MNK, нам нужно найти площадь квадрата MNKL.

Для этого нам нужно найти длину стороны квадрата.

Из треугольника AMN мы знаем, что AM = A1N = 1. Также известно, что A1D1 = 4√3.

Таким образом, MD1 = A1D1 - AM - 1 = 4√3 - 1 - 1 = 4√3 - 2.

Поскольку MNKL - квадрат, все его стороны равны. Таким образом, длина стороны квадрата равна MD1.

Площадь квадрата MNKL равна (MD1)^2 = (4√3 - 2)^2 = 48 - 16√3 + 12.

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью MNK равна 48 - 16√3 + 12.