Question

У гострокутному трикутнику АВС АС=15 см, ВС=14 см. АК і ВМ - висоти трикутника, ВМ =11,2 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута С трикутника АВС.

Answer 1

Ответ:

sin C = 0,8

cos C = 0,6

tg C = 4/3

Объяснение:

Дан остроугольный треугольник АВС. АК и ВМ - высоты треугольника. АК⟂ВС, ВМ⟂АС.

АС=15 см, ВС=14 см, ВМ=11,2см.

Найти sin C, cos C, tg C.

• Синус угла (sin С) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
• Косинус угла ( cos С) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс угла ( t g С) - отношение противолежащего катета к прилежащему.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ВМС(∠М=90°, т.к. ВМ⟂АС)

$sin \: C = \dfrac{BM}{BC} = \dfrac{11,2}{14} = 0,8$

$cos \: C= \dfrac{MC}{BC}$

Катет МС найдём по теореме Пифагора:

$MC = \sqrt{ {BC}^{2} - {BM}^{2} } = \sqrt{ {14}^{2} - {11,2}^{2} } = \\ \\ = \sqrt{196 - 125,44} = \sqrt{70,56} = 8,4$

Тогда:

$cos \: C = \dfrac{8,4}{14} = 0,6$

$tg \: C = \dfrac{BM}{MC} = \dfrac{11,2}{8,4} = \dfrac{4}{3}$

2) Косинус и тангенс угла С также можно найти другим способом.

Из основного тригонометрического тождества (sin²C+cos²C=1) находим cos C:

$cos \: C= \sqrt{1 - {sin}^{2}C } = \sqrt{1 - {0,8}^{2} } = \\ \\ = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Теперь найдём тангенс угла С.

Известно, что:

$tg \: C = \dfrac{sin \: C}{cos \: C} = \dfrac{0,8}{0,6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

Answer 2

Для розв'язання цього завдання нам знадобиться використати відомості про висоти трикутника та відповідні формули для обчислення синусу, косинусу та тангенсу кута.

Відомості:

- Сторона АС трикутника АВС дорівнює 15 см. - Сторона ВС трикутника АВС дорівнює 14 см. - Висота АК трикутника АВС дорівнює 11,2 см. - Висота ВМ трикутника АВС дорівнює 11,2 см.

Розв'язок:

1. За теоремою Піфагора знайдемо довжину сторони АВ: - АВ^2 = АС^2 - ВС^2 - АВ^2 = 15^2 - 14^2 - АВ^2 = 225 - 196 - АВ^2 = 29 - АВ = √29

2. Знайдемо площу трикутника АВС за формулою: - S = (1/2) * АВ * ВМ - S = (1/2) * √29 * 11,2 - S = √29 * 5,6

3. Знайдемо довжину основи СВ трикутника АВС за формулою: - СВ = (2 * S) / АС - СВ = (2 * √29 * 5,6) / 15 - СВ = (2 * √29 * 5,6) / 15

4. Знайдемо синус кута С за формулою: - sin(C) = ВМ / АС - sin(C) = 11,2 / 15

5. Знайдемо косинус кута С за формулою: - cos(C) = СВ / АС - cos(C) = (2 * √29 * 5,6) / 15

6. Знайдемо тангенс кута С за формулою: - tan(C) = ВМ / СВ - tan(C) = 11,2 / (2 * √29 * 5,6) / 15

Відповідь:

Отже, синус кута С трикутника АВС дорівнює 11,2 / 15, косинус кута С дорівнює (2 * √29 * 5,6) / 15, а тангенс кута С дорівнює 11,2 / (2 * √29 * 5,6) / 15.