Question

Радиус круга, описанного вокруг правильного многоугольника равняется 4см, а радиус круга, вписанного в этот многоугольник 2V2. Найти количество сторон этого многоугольника.

Answer 1

Правильный многоугольник имеет вписаную и описанную окружности, их центры совпадают.

То есть центр правильного многоугольника одновременно является пересечением биссектрис углов и серединных перпендикуляров к сторонам.

Проведем радиус вписанной окружности OH, ∠H=90°

Проведем радиус описанной окружности OA, ∠OAH=∠A/2

sin(A/2) =sin(OAH) =OH/OA =r/R =2√2/4 =1/√2

=> ∠A/2 =45° => ∠A=90°

Понятно, что данный многоугольник - квадрат, 4 стороны.

n =360°/(180°-ф) =360°/(180°-90°) =4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой, связывающей радиус описанного и вписанного кругов с длиной стороны правильного многоугольника.

Для описанного круга: радиус описанного круга равен половине длины стороны многоугольника, деленной на тангенс угла внутри многоугольника.

Для вписанного круга: радиус вписанного круга равен половине длины стороны многоугольника, умноженной на тангенс угла внутри многоугольника.

Используя эти формулы, мы можем составить уравнения и решить их, чтобы найти количество сторон многоугольника.

Для описанного круга: 4 = s/2 * tan(180°/n), где s - длина стороны многоугольника, n - количество сторон многоугольника.

Для вписанного круга: 2√2 = s/2 * tan(90°/n).

Решая эти уравнения, мы можем найти количество сторон многоугольника.