Question

Дано уравнение окружности с центром: a) найти Центр и радиус. x2 + y2-6x-4y + 5 = 0 b) окружность пересекается с осью Ох в точках А и В с) найдите площадь треугольника АВС

Answer 1

Решение:

a) Уравнение окружности:

(х - х0)² + (y - y0)² = r², где

• (х0, у0) - координаты центра
• r - радиус

Приведем наше уравнение к такому виду с помощью выделения полных квадратов:

х² + y² - 6x - 4y + 5 = 0

(x² - 6x) + (y² - 4y) + 5 = 0

(x² - 2*3*x) + (y² - 2*2*y) + 5 = 0

(x² - 2*3*x + 3² - 3²) + (y² - 2*2*y + 2² - 2²) + 5 = 0

(x² - 2*3*x + 3²) - 3² + (y² - 2*2*y + 2²) - 2² + 5 = 0

(x - 3)² - 9 + (y - 2)² - 4 + 5 = 0

(x - 3)² + (y - 2)² = 9 + 4 - 5

(x - 3)² + (y - 2)² = 8

Итого:

• Центр: (3, 2)
• Радиус: $\sqrt{8}$

b) В точках, где окружность пересекается с Ох, у = 0. Найдем эти точки:

(х - 3)² + (y - 2)² = 8

(х - 3)² + (0 - 2)² = 8

(х - 3)^2 + (-2)² = 8

(х - 3)² + 4 = 8

(х - 3)² = 8 - 4

(х - 3)² = 4

x - 3 = 2 или х - 3 = -2

x = 5 или х = 1

Итого:

• А: (1, 0)
• В: (5, 0)

с) Найти площадь можно двумя способами.

Способ I: Занудный

Формула Герона:

S = $\sqrt{p*(p - a)*(p - b)*(p - c)}$, где

a, b, c - стороны треугольника

р - полупериметр

Обозначим центр точкой О.

Имеем:

• О (3, 2)
• А (1, 0)
• В (5, 0)

ОА и ОВ - радиусы, равные $\sqrt{8}$

AB = 5 - 1 = 4

=> p = (4 + $\sqrt{8}$ + $\sqrt{8}$) / 2 = 2 + $\sqrt{8}$

S = $\sqrt{(2 + \sqrt{8} ) * (2 +\sqrt{8} -\sqrt{8} ) * (2 + \sqrt{8} - \sqrt{8} ) * (2 + \sqrt{8} - 4)}$=

$\sqrt{(2+\sqrt{8} ) * 2 * 2 * (\sqrt{8} - 2) }$ =

$\sqrt{(8 - 4) * 2 * 2}$ = 4

Способ II: Быстрый

Сделаем дополнительное построение: опустим перпендикуляр из центра на Ох. Так как центр находится в точке (3, 2), перпендикуляр попадет в точку (3, 0). Пусть это будет точка С.

Имеем:

• О (3, 2)
• А (1, 0)
• В (5, 0)
• С (3, 0)

Найдем АС и ВС:

• АС = 3 - 1 = 2
• ВС = 5 - 3 = 2

Рассмотрим треугольники АОС и ВОС:

• ОА = ОВ (как радиусы)
• ОС - общая сторона
• АС = ВС = 2

=> равны по трем сторонам.

Найдем площадь одного из них.

ОАС прямоугольный (по построению ОС), поэтому его площадь находится по формуле:

S = a*b / 2, где

a, b - катеты

• OC = 2 - 0 = 2
• AO = 2,

поэтому S = 2*2/2 = 2

Треугольники одинаковы, поэтому площадь ОСВ тоже 2.

Следовательно, их общая площадь равна 2 + 2 = 4.

Ответ: 4

Answer 2

Данное уравнение окружности имеет вид:

x^2 + y^2 - 6x - 4y + 5 = 0

Для нахождения центра и радиуса окружности, мы можем привести уравнение к стандартной форме окружности, то есть заполнить квадратные члены и собрать константы:

(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + 5 = 0

Для заполнения квадратных членов, нам понадобится добавить постоянные значения, равные квадрату половины коэффициента перед x и y. В данном случае это будет (6/2)^2 = 9 и (4/2)^2 = 4:

(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) + 5 - 9 - 4 = 0

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9 + 4 - 5 = 8

Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартной форме:

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 8

Из этого уравнения мы можем определить центр окружности и радиус. Центр окружности находится в точке (3, 2), а радиус равен √8 = 2√2.

Теперь перейдем к второй части задачи.

Окружность пересекается с осью Ox в точках А и В. Точки пересечения с осью Ox имеют y-координату равную 0. Подставим y = 0 в уравнение окружности:

(x - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 8

(x - 3)^2 + 4 = 8

(x - 3)^2 = 8 - 4

(x - 3)^2 = 4

x - 3 = ±√4

x - 3 = ±2

x = 3 ± 2

Таким образом, точки А и В имеют координаты A(1, 0) и B(5, 0).

Наконец, чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника, зная координаты его вершин:

Площадь треугольника АВС = 1/2 * |(x_A * (y_B - y_C) + x_B * (y_C - y_A) + x_C * (y_A - y_B))|

Подставим координаты точек А(1, 0), В(5, 0) и С(3, 2) в эту формулу:

Площадь треугольника АВС = 1/2 * |(1 * (0 - 2) + 5 * (2 -