Question

1.23*. На большей диагонали BD ромба ABCD выбраны точки Р и К (рис.7). Докажите, что четырехугольник АРСК квадрат, если OA=OP=OК.​

Answer 1

Мы знаем что АС это АО+ОС

АО=ОС (Точка О середина диагонали АС)

по условию ОА=ОР=ОК то ОС=ОА=ОК=ОР

вспомним свойства квадрата:

диагонали перпендикулярны

точки пересечения делятся пополам

диагонали равны.

Всё сходится.

Итог: четырехугольник АРСК-квадрат

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник АРСК является квадратом, мы должны показать, что его стороны равны и что его углы прямые.

Для начала, поскольку OA = OP = OK, это означает, что точки P и K находятся на окружности с центром в точке O и радиусом OA. Это означает, что треугольник OPA и треугольник OAK являются равнобедренными треугольниками, так как OP = OA и OK = OA.

Поскольку треугольник OPA и треугольник OAK равнобедренные, мы можем сказать, что у них равны основания AP и AK, соответственно. То есть AP = AK.

Также у нас есть информация, что BD является диагональю ромба ABCD. Поскольку диагонали ромба делят его на два равных треугольника, мы можем сказать, что треугольник ABD равен треугольнику CBD, и треугольник ACD равен треугольнику CDB.

Таким образом, мы можем записать следующие равенства сторон:

AB = BC (по определению ромба) BD = BD (тривиальное равенство) AD = CD (треугольник ACD равен треугольнику CDB) AB = BC = BD/2 (поскольку треугольник ABD равен треугольнику CBD) AD = CD = BD/2 (поскольку треугольник ACD равен треугольнику CDB)

Теперь мы можем рассмотреть четырехугольник АРСК. Мы уже знаем, что AP = AK и AB = BC = BD/2. Также мы знаем, что угол PAD равен углу KAD, поскольку они соответственные углы, образованные пересечением прямой AP с параллельными прямыми AK и BD.

Теперь мы можем сделать следующие выводы:

AP = AK (из равнобедренности треугольников OPA и OAK) AB = BC = BD/2 (из свойств ромба) PAD = KAD (соответствующие углы)

Таким образом, по определению квадрата, четырехугольник АРСК является квадратом, так как у него равные стороны и прямые углы.