Question

8. Знайти різницю площ вписаного та описаного кіл правильного трикутника, якщо сума радіусів цих кіл дорівнює 12см.​СРООЧНО

Answer 1

Решение.

ΔАВC - правильный , АВ=ВС=АС=а , АН ⊥ АС ,  h=AH ,  AH=HB=a/2 ,

R=AO  ,  r=OH  ,  R + r = 12 cм  .

В правильном треугольнике медианы и высоты совпадают, а медианы в точке пересечения делятся в отношении 2 : 1 . Значит и высоты в правильном треугольнике делятся 2 : 1 . Поэтому R : r = 2 : 1

Высоты равны   $h=\sqrt{a^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$  .

Радиус описанной окружности равен  $R=\dfrac{2}{3}\cdot h=\dfrac{a\sqrt3}{3}$  .

Радиус вписанной окружности равен  $r=\dfrac{1}{3}\cdot h=\dfrac{a\sqrt3}{6}$  .

По условию  R + r = 12 см    ⇒  

$R+r=\dfrac{a\sqrt3}{3}+\dfrac{a\sqrt3}{6}=\dfrac{3a\sqrt3}{6}=\dfrac{a\sqrt3}{2}\ \ ,\ \ \ \dfrac{a\sqrt3}{2}=12\ \ ,\ \ a\sqrt3=24\ \ ,\\\\a=\dfrac{24}{\sqrt3}=\dfrac{24\sqrt3}{\sqrt3\cdot \sqrt3}=8\sqrt3$

Найдём радиусы и посчитаем площади вписанной и описанной окружностей .

$R=\dfrac{a\sqrt3}{3}=\dfrac{8\sqrt3\cdot \sqrt3}{3}=8\ \ ,\ \ \ r=\dfrac{8\sqrt3\cdot \sqrt3}{6}=4\\\\S_1=S_{opisan.}=\pi R^2=64\pi \\\\S_2=S_{vpisan.}=\pi R^2=16\pi \\\\S_1-S_2=64\pi -16\pi =48\pi$  

Ответ:  разность площадей равна  $\boldsymbol{48\pi }$  см² .  

2 способ .  Так как известно, что отношение  АО:ОН=2:1  , то  АО=2х , ОН=х , АН=2х+х=3х .

12=3х  ,  х=4 см ,  2х=8 см  ⇒  R=8 cм  ,  r=4 см

Разность площадей равна   8²π - 4²π = 64π - 16π = 48π  см² .

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо формули, пов'язані з вписаними та описаними колами правильного трикутника.

Позначимо радіус вписаного кола як r, а радіус описаного кола як R.

Відомо, що сума радіусів цих кіл дорівнює 12 см, тобто: r + R = 12 (1)

Також, для правильного трикутника вписаного кола площа дорівнює: S_впис = π * r^2 (2)

А для описаного кола площа дорівнює: S_оп = π * R^2 (3)

Ми хочемо знайти різницю площ вписаного та описаного кола, тобто S_впис - S_оп.

Підставимо значення площ з формул (2) та (3) в різницю: S_впис - S_оп = π * r^2 - π * R^2 = π * (r^2 - R^2) (4)

Ми також маємо рівняння (1), яке пов'язує радіуси: r + R = 12 (1)

З цих двох рівнянь ми можемо виразити один радіус через інший.

Додамо рівняння (1) до квадрату різниці радіусів: (r + R)^2 = 12^2 r^2 + 2rR + R^2 = 144 (5)

Тепер віднімемо від (5) подвоєне рівняння (4): r^2 + 2rR + R^2 - 2(r^2 - R^2) = 144 - 2π * (r^2 - R^2) r^2 + 2rR + R^2 - 2r^2 + 2R^2 = 144 - 2π * (r^2 - R^2) r^2 - 2r^2 + 2R^2 - 2rR + R^2 + 2R^2 = 144 - 2π * (r^2 - R^2) 3R^2 - 2rR = 144 - 2π * (r^2 - R^2) (6)

Тепер з рівняння (1) можемо виразити r: r = 12 - R (7)

Підставимо значення r з (7) в рівняння (6): 3R^2 - 2(12 - R)R = 144 - 2π * ((12 - R)^2 - R^2) 3R^2 - 2(12R - R^2)