Question

Площини квадрата ABCD і рівнобедреного трикутника ABF взаємно перпендикулярні. Точка О – центр квадрата, AF = BF = 20 см, АС = 32√2 см. Знайдіть відстань від точки F до центра кола, описаного навколо трикутника АBО​

Answer 1

Ответ:

Расстояние от точки F до центра окружности, описанной вокруг треугольника АВО равно 12 см.

Объяснение:

Плоскости квадрата ABCD и равнобедренного треугольника ABF взаимно перпендикулярны. Точка О – центр квадрата, AF = BF = 20 см, АС = 32√2 см. Найдите расстояние от точки F до центра окружности, описанной вокруг треугольника АВО.

Дано: (ABCD) ⊥ (ABF)

ABCD - квадрат; ΔABF - равнобедренный;

AF = BF = 20 см, АС = 32√2 см.

Найти: расстояние от точки F до центра окружности, описанной вокруг треугольника АВО.

Решение:

Определим искомый отрезок.

Рассмотрим ΔАОВ.

• Диагонали квадрата равны, точкой пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.

⇒ АО = ОВ = 32√2 : 2 = 16√2 (см)

АО ⊥ ОВ

⇒ ΔАОВ - прямоугольный и равнобедренный.

• Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.

⇒ АК = КВ

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего эти точки.

⇒ искомый отрезок FK.

По теореме Пифагора найдем АВ:

АВ² = ОА² + ОВ² = 16² · 2 + 16² · 2 = 4 · 16²   ⇒ АВ = 2 · 16 = 32 (см)

АК = КВ = АВ : 2 = 16 (см)

Рассмотрим ΔAFB - равнобедренный.

АК = КВ ⇒ FK - медиана.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.

⇒ FK ⊥ AB

Рассмотрим ΔAFK - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем FK:

FK² = AF² - AK² = 400 - 256 = 144   ⇒   FK = 12 (см)

Расстояние от точки F до центра окружности, описанной вокруг треугольника АВО равно 12 см.

#SPJ1

Answer 2

Для початку, знайдемо довжину сторони квадрата ABCD. Оскільки AC = 32√2 см і квадрат має всі сторони однакової довжини, то сторона квадрата буде дорівнювати 32√2 см.

За умовою, точка О є центром квадрата, тому ОА = ОВ = ОС = ОD = 16√2 см.

Оскільки квадрат ABCD і рівнобедрений трикутник ABF перпендикулярні, то точка F лежить на прямій, яка проходить через центр квадрата і середину сторони AB.

Знайдемо середину сторони AB: М(AB) = (АВ + ОB) / 2 = (32√2 + 16√2) / 2 = 48√2 / 2 = 24√2 см.

Відстань від точки F до центра кола, описаного навколо трикутника АВО, буде відстанню від точки F до точки М(АВ).

Застосуємо теорему Піфагора в прямокутному трикутнику ОМF: OF² = OM² + MF².

Оскільки ОМ = 24√2 см (відстань від центра квадрата до середини сторони AB), а МF = 20/2 = 10 см (половина довжини сторони рівнобедреного трикутника), то:

OF² = (24√2)² + 10² OF² = 576 * 2 + 100 OF² = 1152 + 100 OF² = 1252.

Отже, OF = √1252 см.

Це є значення відстані від точки F до центра кола, описаного навколо трикутника АВО.