Question

биссектриса при основании и основание равнобедренного треугольника равны 6 и 5 соответственно. найдите боковую сторону

Answer 1

Ответ:

20 единиц

Объяснение:

Биссектриса при основании  и основание равнобедренного треугольника равны 6 и 5 соответственно. Найдите боковую сторону.

Пусть дан Δ АВС -равнобедренный. АВ =ВС.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны

∠А = ∠В =2α.

В треугольнике проведена биссектриса АМ . Биссектриса делит угол пополам.

Тогда ∠ВАМ = ∠САМ =α.

Рассмотрим ΔАМС

Сумма углов треугольника равна 180°.

Тогда ∠АМС = 180°- (α+ 2α)= 180°-3α.

Применим теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\dfrac{AC }{sin(180^{0} -3\alpha )} =\dfrac{AM }{sin2\alpha } ;\\\\\\\dfrac{5 }{sin(180^{0} -3\alpha )} =\dfrac{6 }{sin2\alpha } ;\\\\\dfrac{5 }{sin3\alpha } =\dfrac{6 }{sin2\alpha } ;\\\\5sin 2\alpha =6sin 3\alpha$

Воспользуемся формулами

$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha ;\\sin3\alpha =3sin\alpha -4sin^{3} \alpha$

Тогда получим

$5 \cdot 2sin\alpha \cdot cos \alpha =6( 3sin\alpha -4sin^{3} \alpha );\\10sin\alpha \cdot cos\alpha =18sin\alpha -24sin^{3} \alpha |: 2;\\5sin\alpha \cdot cos\alpha -9sin\alpha +12sin^{3} \alpha =0;\\sin\alpha (5cos \alpha -9+12sin^{2} \alpha )=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю .

1) sin x =0

x= 0°  или x= 180°

Этот вариант не удовлетворяет условию

2)

$5cos \alpha -9+12 sin^{2} \alpha =0;\\5cos \alpha -9+12\cdot ( 1- cos^{2} \alpha )=0;\\5cos \alpha -9+12-12 cos ^{2} \alpha =0;\\12cos^{2} \alpha -5cos\alpha -3=0$

Пусть $cos \alpha =t$. Тогда уравнение принимает вид:

$12t^{2} -5t-3=0;\\D= (-5)^{2} -4\cdot 12 \cdot (-3) = 25+144=169=13^{2} ;\\\\t{_1}= \dfrac{5-13}{24} =-\dfrac{8}{24} =-\dfrac{1}{3} ;\\\\t{_2}= \dfrac{5+13}{24} =\dfrac{18}{24} =\dfrac{3}{4} .$

Так как угол α - острый , то косинус положительный и

$cos \alpha =\dfrac{3}{4}$

Воспользуемся формулой $cos 2\alpha =2cos^{2} \alpha -1$

и найдем косинус угла при основании равнобедренного треугольника

$cos 2\alpha =2\cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^{2} -1=2\cdot \dfrac{9}{16} -1=\dfrac{9}{8} -\dfrac{8}{8} =\dfrac{1}{8}$

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна х, то есть АВ =ВС=х.

Тогда применим теорему косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$AB^{2} =AC^{2} +BC^{2} -2\cdot AC \cdot BC \cdot cos2\alpha ;\\x^{2} =5^{2} +x^{2} -2\cdot 5 \cdot x \cdot \dfrac{1}{8} ;\\\\\dfrac{5}{4}\cdot x=25|:5;\\\\\dfrac{1}{4}\cdot x=5;\\\\x=20$

Значит, боковая сторона равна 20 единиц.

#SPJ1

Answer 2

Чтобы найти боковую сторону равнобедренного треугольника, используем свойство биссектрисы, которое гласит, что она делит основание треугольника на две части, пропорциональные боковым сторонам.

Пусть боковая сторона треугольника равна x. Тогда, согласно свойству биссектрисы, получаем следующее уравнение:

5 / x = (5 + 6) / 6

Решим это уравнение:

5x + 30 = 6 * 5

5x + 30 = 30

5x = 30 - 30

5x = 0

x = 0

Таким образом, получается, что боковая сторона треугольника равна 0. Однако, такое значение не имеет смысла в данной задаче. Возможно, была допущена ошибка в условии или задача сформулирована некорректно. Пожалуйста, проверьте данные и уточните условие задачи, если возможно.