Question

Знайдіть радіус кола описаного навколо рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 16 см, а висота, проведена до основи, дорівнює 8 см.

Answer 1

Ответ:

8 см

Объяснение:

Первый способ решения:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС = 16 см и высотой ВН, проведённой к этому основанию, ВН = 8 см

По теореме ВН является медианой, тогда АН = НС = 16:2 = 8 (см).

2. Получили, что

АН = НС = ВР = 8 см, ∆ АВН прямоугольный равнобедренный, ∠ НАВ = ∠ НВА = 45°,

Аналогично и ∆ СВН прямоугольный равнобедренный, ∠ НСВ = ∠ НВС = 45°,

∠ АВС = 45° + 45° = 90°.

3. Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом В, является по теореме середина гипотенузы АС точка Н, тогда

НА = R = 8 (см)

Второй способ решени:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС = 16 см и высотой ВН, проведённой к этому основанию, ВН = 8 см

По теореме ВН является медианой, тогда АН = НС = 16:2 = 8 (см).

2. В ∆ АНВ по теореме Пифагора АВ = √(8²+8²) = 8√2 (см).

3. По теореме в любом треугольнике радиус описанной окружности может быть найден по формуле:

R = (abc)/(4S), где а, b, c - до ны сторон, а S - площадь треугольника.

В нашем случае

S = 1/2 • AC • BH = 1/2 • 16 • 8 = 64 (см²)

R = (16•8√2•8√2)/(4•64) = (16•2)/4 = 8 (см).

Третий способ решения:

Можно воспользоваться формулой

R = a/(2•sinA), где а - длина стороны треугольника, а sinA - это синус угла, противолежащего в треугольнике этой стороне.

В нашем случае

R = AB /(2•sinC) = 8√2/(2•√2/2) = 8√2/√2 = 8 (см).

Answer 2

Для знаходження радіуса кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, можна скористатися формулою, яка пов'язує радіус кола з стороною трикутника.

В рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою. Тому, за теоремою Піфагора, вона розділяє основу на дві рівні частини.

Половина основи дорівнює 8 см / 2 = 4 см.

Тепер ми маємо правильний трикутник, у якому одна сторона — половина основи, а друга сторона — висота.

Застосуємо відому формулу для радіуса кола, описаного навколо правильного трикутника:

Радіус (R) = (сторона трикутника / 2) / sin(60°),

де sin(60°) = √3 / 2.

Підставимо відомі значення:

Радіус (R) = (4 см) / (√3 / 2) = (4 см) * (2 / √3) = (8 см / √3).

Отже, радіус кола, описаного навколо цього рівнобедреного трикутника, дорівнює 8 см / √3.