Question

Очень срочно!!! Дам 30 баллов ABCD-прямоугольник. Биссектрисы углов А и В пере- секают стороны ВС и AD в точках М и N соответственно. Доказать, что ABMN - квадрат. Сделайте решение с рисунком пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

Доказано, ABMN - квадрат.

Объяснение:

ABCD - прямоугольник. Биссектрисы углов А и В пересекают стороны ВС и AD в точках М и N соответственно. Доказать, что ABMN - квадрат.

Дано: ABCD - прямоугольник.

АМ и BN - биссектрисы;

M ∈ BC; N ∈ AD.

Доказать: ABMN - квадрат

Доказательство:

Обозначим углы цифрами. (см. рис)

1. Рассмотрим ΔАВМ и ΔАВN - прямоугольные.

∠1 = ∠2 = 90° : 2 = 45° (АМ - биссектриса)

∠3 = ∠4 = 90° : 2 = 45° (BN - биссектриса)

⇒ ∠1 = ∠3 = 45°

AB - общая

ΔАВМ = ΔАВN (по катету и острому углу)

⇒ BM = AN; AM = BN (как соответственные элементы)

2. Рассмотрим ΔАВО.

∠ 1 = ∠3 = 45°

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠АОВ = 180° - 45° - 45° = 90°

⇒ BN ⊥ AM

3. Рассмотрим ABMN.

BM = AN (п.1); BM || AN (условие)

• Если в четырехугольнике две противоположных стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

⇒ ABMN - параллелограмм.

AM = BN (п.1)

• Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

⇒ ABMN - прямоугольник.

BN ⊥ AM (п.2)

• Если в прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то этот прямоугольник - квадрат.

⇒ ABMN - квадрат.

#SPJ1

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с этим. Давайте рассмотрим решение задачи с помощью рисунка.

1. Нарисуем прямоугольник ABCD:

   cssCopy code
      A-------B
      |       |
      |       |
      |       |
      D-------C
   

2. Построим биссектрисы углов A и B:

   cssCopy code
      A-------B
      |   /   |
      |  /    |
      | /     |
      D-------C
   

   Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке N.

3. Рассмотрим треугольник BMD:

   cssCopy code
      A-------B
      |   /   |
      |  /|   |
      | / |   |
      D---M---C
   

   В треугольнике BMD угол BMD равен половине угла B, так как точка M лежит на биссектрисе. Аналогично, угол BDM равен половине угла A.

4. Рассмотрим треугольник AND:

   cssCopy code
      A-------B
      |   /   |
      |  /|   |
      | / |   |
      D---M---C
       \  |
        \ |
         \|
          N
   

   В треугольнике AND угол AND равен половине угла A, так как точка N лежит на биссектрисе. Аналогично, угол ADN равен половине угла B.

5. Из пункта 3 мы знаем, что угол BMD равен половине угла B. Из пункта 4 мы знаем, что угол ADN равен половине угла B. Таким образом, угол BMD равен углу ADN.

6. Заметим, что угол ABM равен углу NDA (они смежные вертикальные углы).

7. Из пункта 5 следует, что угол BMD равен углу ADN, а из пункта 6 следует, что угол ABM равен углу NDA. Значит, треугольники BMD и AND подобны.

8. Так как треугольники BMD и AND подобны, и их стороны BM и AN соответственно параллельны, то отсюда следует, что ABMN - параллелограмм.

9. Так как ABMN - параллелограмм и у него противоположные стороны равны (AB = MN и BM = NA), то ABMN - ромб.

10. Поскольку у ромба все стороны равны, то ABMN - к