Question

Дано |вектор а|=5, |вектор b|=7, |вектор а + вектор b|=12. Найти |вектор а - вектор b|

Answer 1

Ответ:

Для начала, давайте вспомним о теореме Пифагора для трех векторов: если у нас есть три вектора A, B и C, то:

|A + B + C|^2 = |A|^2 + |B|^2 + |C|^2 + 2|A||B| + 2|A||C| + 2|B||C|

Теперь, если мы заметим, что | вектор а + вектор b | является одной из сторон этого уравнения, а также мы знаем, что |вектор а| и |вектор b| также имеют известную длину, мы можем использовать это уравнение для нахождения | вектор а - вектор b |.

Давайте обозначим вектор а как A, вектор b как B, тогда имеем:

|A| = 5

|B| = 7

|A+B| = 12

Применим формулу Пифагора для векторов A, B и A+B:

|A|^2 + |B|^2 + 2|A||B| = |A + B|^2

5^2 + 7^2 + 2(5)(7) = 12^2

25+49+70=144

144=144

Итак, мы проверили правильность исходных данных. Теперь применим формулу Пифагора для векторов A и B:

|A - B|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|

|A - B|^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)

|A - B|^2 = 25 + 49 - 70

|A - B|^2 = 4

|A - B| = 2

Следовательно, |вектор а - вектор b| =2.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника со сторонами, заданными длинами векторов.

Известно, что вектор a и вектор b образуют стороны треугольника, а вектор a + вектор b образует диагональ треугольника.

По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы.

Таким образом, мы можем записать уравнение: |вектор а + вектор b|^2 = |вектор а|^2 + |вектор b|^2

Раскроем квадраты по формуле скалярного произведения векторов: (вектор а + вектор b) * (вектор а + вектор b) = вектор а * вектор а + 2 * (вектор а * вектор b) + вектор b * вектор b

Теперь подставим известные значения: 12^2 = 5^2 + 2 * (вектор а * вектор b) + 7^2

144 = 25 + 2 * (вектор а * вектор b) + 49

Теперь найдем скалярное произведение векторов а и b: вектор а * вектор b = |вектор а| * |вектор b| * cos(θ)

где θ - угол между векторами а и b.

Заметим, что |вектор а + вектор b| = 12, то есть длина вектора а + вектор b равна 12.

Теперь мы можем записать уравнение: 144 = 25 + 2 * (5 * 7 * cos(θ)) + 49

144 = 25 + 70 * cos(θ) + 49

70 * cos(θ) = 144 - 25 - 49

70 * cos(θ) = 70

cos(θ) = 1

Так как cos(θ) равен 1, это означает, что угол θ между векторами а и b равен 0 градусов или 180 градусов.

Теперь мы можем найти разность длин векторов а и b: |вектор а - вектор b| = |вектор а| - |вектор b| = 5 - 7 = -2

Ответ: |вектор а - вектор b| = 2