Question

Висота, проведена з вершини гострого кута тупокутного трикутника до його основи, утворює з бічними сторонами кути 14° i 38°. Знайдіть кути трикутника.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Позначимо данний трикутник ABC, де кут A - гострий кут, і AD - висота, опущена з вершини A на основу BC.

За умовою задачі, ми знаємо, що кут ADC = 38° і кут ADB = 14°. Також відомо, що в трикутнику ABC висота AD є бісектрисою кута BAC.

Позначимо кути BAC, ABC і ACB через α, β і γ відповідно. Тоді, знайдемо кути трикутника за допомогою теореми бісектриси:

AD є бісектрисою кута BAC, тому маємо:

BD/DC = AB/AC

За теоремою синусів в трикутнику ABD та ACD, маємо:

BD/AD = sin(α/2)/sin(14°)

DC/AD = sin(α/2)/sin(38°)

AB/AD = sin(β)/sin(14°)

AC/AD = sin(γ)/sin(38°)

Об'єднуємо отримані рівності, отримуємо:

sin(β)/sin(α/2) = sin(14°)/sin(38°)

Звідси маємо:

β = 2arcsin(sin(14°)sin(α/2)/sin(38°))

Знаючи β, ми можемо знайти γ за допомогою теореми косинусів в трикутнику ABC:

cos(γ) = (AB^2 + AC^2 - BC^2)/(2AB*AC)

cos(γ) = (sin^2(β/2) + sin^2(38°) - 2sin(β/2)sin(38°)cos(α/2))/(2sin(β/2)sin(38°))

Знаючи γ, можна знайти α, так як сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Таким чином, кути трикутника ABC дорівнюють:

α = 180° - β - γ

β = 2arcsin(sin(14°)sin(α/2)/sin(38°))

cos(γ) = (sin^2(β/2) + sin^2(38°) - 2sin(β/2)sin(38°)cos(α/2))/(2sin(β/2)sin(38°))

де α, β та γ вимірюються в градусах.

Answer 2

Нехай ABC - гострий кут трикутник, де C є вершиною гострого кута. Нехай CD - висота, проведена з вершини C до основи AB. Задано, що кут BCD = 14° і кут ACD = 38°.

Оскільки висота проведена до основи трикутника, кути BCD і ACD є взаємно доповненими. Тобто, BCD + ACD = 180°.

Знаючи це, ми можемо знайти кут BDC: BCD = 180° - ACD = 180° - 38° = 142°.

Так як BDC - це зовнішній кут трикутника ABC, то кут B - це сума кутів BDC і BCD: B = BDC + BCD = 14° + 142° = 156°.

Нарешті, щоб знайти кут A, ми використовуємо факт, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180°: A = 180° - B - C = 180° - 156° - 90° = -66°.

Отже, кути трикутника ABC будуть наступними: A = -66°, B = 156°, C = 90°.