Question

Помогите доказать теорему!!! Биссектрисы треуголка пересекаются в 1 точке и является центром вписанного в треугольник окружности.​

Answer 1

Для доказательства данной теоремы можно использовать следующий подход:

Пусть у нас есть треугольник ABC, вписанная в него окружность с центром O и биссектрисы углов, проходящие через вершины A, B и C, соответственно.

1. Докажем, что точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Пусть точка пересечения биссектрис AB и BC равна P. Тогда, по определению биссектрисы, угол APB равен углу BPC. Также, по теореме об углах, смежных с центральным углом, угол APB равен половине центрального угла ACB, а угол BPC равен половине центрального угла ABC.

Следовательно, угол APB равен половине суммы углов ACB и ABC, то есть углу AOB. Аналогично, можно доказать, что угол BPC также равен углу AOB. Таким образом, точка P лежит на окружности с центром O и радиусом r (где r - радиус вписанной окружности).

2. Док

Answer 2

Для доказательства данной теоремы можно воспользоваться следующими шагами:

1. Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисами AD, BE и CF, где D, E и F - точки пересечения биссектрис с противоположными сторонами треугольника.

2. Предположим, что биссектрисы AD и BE пересекаются в точке P.

3. Докажем, что точка P лежит на третьей биссектрисе CF.

4. Рассмотрим треугольники ABE и CBE. Так как PD является биссектрисой угла B в треугольнике ABE, а PE является биссектрисой угла B в треугольнике CBE, то по свойству биссектрисы отношение отрезков AD/DB и CE/EB должно быть равно. То есть AD/DB = CE/EB.

5. В треугольнике ABC применим теорему синусов для сторон AD и CE относительно угла B:

   AD/CE = sin(∠BAD) / sin(∠CBE) (1)

6. Заметим, что в треугольнике ABC противоположные углы ∠BAD и ∠CBE равны, так как они соответствуют одной и той же дуге окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

7. Из равенства sin(∠BAD) = sin(∠CBE) следует, что AD/CE = 1. То есть AD = CE.

8. Таким образом, мы доказали, что точка P лежит на биссектрисе CF, и AD = CE.

9. Аналогичным образом можно показать, что биссектрисы AD и CF также пересекаются в одной точке, которая будет центром вписанной окружности треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и являются центром вписанной окружности треугольника.