Question

В опуклому многокутнику шість кутів дорівнюють по 150°, а решта по 157,5°. Скільки діа- гоналей можна провести в цьому многокутнику?

Answer 1

Розв'язання:

Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника обчислюється за формолою

Sn = 180°×(n-2)

За умовою задачі Sn=6×150° +(n-6)×157,5°

Маємо рівняння:

6×150 + (n-6)×157,5 = 180×(n-2)

900 + 157,5n - 945 = 180n - 360

180n - 157,5n = 360 - 45

22,5n = 315

n = 315 : 22,5

n = 14

Отже, даний опуклий многокутник має 14 кутів та 14 сторін.

Кількість діагоналей опуклого n-кутника обчислюється за формолою

N=n(n-3)/2 = 14*(14-3)/2 = 7*11 = 77

Відповідь: 77 діагоналей.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою для знаходження кількості діагоналей в опуклому многокутнику, яка виражається за допомогою кількості вершин n:

Кількість діагоналей = n × (n - 3) / 2

У нашому випадку, ми знаємо, що многокутник має 6 кутів, які дорівнюють 150°, а решта кутів дорівнюють 157,5°. Оскільки кожен кут в многокутнику можна обчислити за формулою:

Сума всіх кутів = (n - 2) × 180°

Ми можемо записати наступну рівність:

6 × 150° + (n - 6) × 157,5° = (n - 2) × 180°

Розв'язавши це рівняння, ми можемо знайти значення n - кількості вершин многокутника.

900° + (n - 6) × 157,5° = (n - 2) × 180°

900° + 157,5°n - 945° = 180°n - 360°

157,5°n - 45° = 180°n - 360°

135° = 22,5°n

n = 6

Таким чином, многокутник має 6 вершин. Підставивши це значення в формулу для кількості діагоналей, ми отримаємо:

Кількість діагоналей = 6 × (6 - 3) / 2 = 6 × 3 / 2 = 9

Отже, в цьому многокутнику можна провести 9 діагоналей.