Question

При якому значенні x вектори а̅(n+1; x; 3n) і b̅(-4n; n - 3; -6)перпендикулярні?(З розв'язком)

Answer 1

Два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0:

а̅ • b̅ = (n+1)(-4n) + x(n-3) + 3n(-6) = -4n^2 + x(n-3) - 18n = 0

Розв'язавши це рівняння відносно x, отримаємо:

x = (4n^2 + 18n) / (n - 3)

Проте потрібно врахувати, що вектори перпендикулярні лише тоді, коли їх довжини не дорівнюють нулю. Тому дослідимо, при яких значеннях n довжина вектора а̅ не буде рівна нулю. Довжина вектора а̅ дорівнює √[(n+1)^2 + x^2 + 9n^2]. Підставляючи значення x, ми отримаємо:

|a̅| = √[(n+1)^2 + ((4n^2 + 18n) / (n - 3))^2 + 9n^2]

Так як довжина вектора не може дорівнювати нулю, то підкореневий вираз має бути більшим за нуль:

(n+1)^2 + ((4n^2 + 18n) / (n - 3))^2 + 9n^2 > 0

Розв'язавши це нерівність, отримаємо два діапазони значень n, при яких вектори а̅ і b̅ будуть перпендикулярні:

n < -3 - 2√10 або n > -3 + 2√10

Тому можна підставити будь-яке значення n з цих діапазонів в формулу для x, щоб отримати точний вектор, перпендикулярний до b̅.

Answer 2

Два вектори a̅(n+1; x; 3n) і b̅(-4n; n - 3; -6) будуть перпендикулярні, якщо їхні скалярні добутки дорівнюють нулю:

a̅ · b̅ = (n+1)(-4n) + x(n - 3) + (3n)(-6) = 0

Розглянемо кожен доданок окремо:

(n+1)(-4n) = -4n^2 - 4n

x(n - 3) = xn - 3x

(3n)(-6) = -18n

Тепер складемо рівняння з усіма доданками:

-4n^2 - 4n + xn - 3x - 18n = 0

Тепер скористаємося цим рівнянням, щоб знайти значення x.

Спростимо рівняння:

-4n^2 - 4n + xn - 3x - 18n = 0

Перенесемо всі доданки на одну сторону:

-4n^2 - 22n + xn - 3x = 0

Факторизуємо рівняння за x:

x(n - 3) - 22n - 4n^2 = 0

x(n - 3) = 22n + 4n^2

x = (22n + 4n^2) / (n - 3)

Отже, значення x, при якому вектори a̅(n+1; x; 3n) і b̅(-4n; n - 3; -6) перпендикулярні, дорівнює (22n + 4n^2) / (n - 3).