Question

Із точки А до кола з центром О проведено дотичні АВ і АС,/_BOC=120°, АВ = 7 см. Знайдіть периметр трикутника АВС.

Answer 1

Для знаходження периметру трикутника АВС спочатку потрібно знайти довжину лінії ВС.

Утворений кут між дотичною АВ і відрізком ВО дорівнює 90° (бо дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, проведеного до точки дотику).

Отже, внутрішній кут ВОС дорівнює 90° - 120° = -30°. Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°, то внутрішній кут САВ дорівнює 180° - 90° - (-30°) = 120°.

Тепер використаємо теорему синусів в трикутнику САВ:

$\frac{{AB}}{{\sin(\angle SAV)}} = \frac{{AV}}{{\sin(\angle ASV)}}$

де AB = 7 см - довжина АВ, AV - радіус кола, а $\angle SAV = 120°$ і $\angle ASV = 90°$.

Підставляємо відповідні значення:

$\frac{{7}}{{\sin(120°)}} = \frac{{AV}}{{\sin(90°)}}$

$\frac{{7}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} = AV$

$AV = \frac{{14}}{{\sqrt{3}}}$

За дотичністю дотична АС є радіусом кола. Тому, АС = AV = $\frac{{14}}{{\sqrt{3}}}$.

Периметр трикутника АВС дорівнює сумі довжин сторін:

$AB + BC + CA = 7 + \frac{{14}}{{\sqrt{3}}} + \frac{{14}}{{\sqrt{3}}} = 7 + \frac{{28}}{{\sqrt{3}}}$ см.

Отже, периметр трикутника АВС дорівнює $7 + \frac{{28}}{{\sqrt{3}}}$ см.