Question

Решить треугольник ABC. Если угол А=45 градусов,Угол В=75 градусов,АВ=2 и корень из 3

Answer 1

Ответ:

$\angle C = {60}^{\circ};$ $AC = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ; $BC = 2\sqrt{2}$.

Объяснение:

1) Найдём $\angle C$ :

Сумма внутренних углов треугольника равна ${180}^{\circ}$.

$\Rightarrow \angle C = {180}^{\circ} - (\angle A + \angle B) = {180}^{\circ} - ({45}^{\circ} + {75}^{\circ}) = {60}^{\circ}$

2) Найдём $BC$:

По теореме синусов: $\dfrac{AB}{\sin(C)} = \dfrac{BC}{\sin(A)}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{AB \cdot \sin(A)}{\sin(C)} = \dfrac{2\sqrt{3} \cdot \sin({45}^{\circ})}{\sin({60}^{\circ})} = \dfrac{2\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} }{\dfrac{\sqrt{3} }{2} }=\sqrt{3} \cdot\sqrt{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{3} } = 2\sqrt{2}$

3) Найдём $AC$:

Пусть $x$ - $AC.$

По теореме косинусов:

$AB = \sqrt{{BC}^{2} + {AC}^{2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(C)}$

$(2\sqrt{3})^{2} = (2\sqrt{2})^{2} + x^{2} - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot x \cdot cos(60^{\circ})$

$12 = 8 + x^{2} - (2\sqrt{2})x\\12 - 8 - x^{2} +( 2\sqrt{2}) x = 0\\-x^{2} + (2\sqrt{2}) x +4 = 0\\x^{2} - (2\sqrt{2}) x - 4 = 0$

$\\x = \dfrac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{(-2\sqrt{2})^{2}-4\cdot1\cdot(-4) } }{2\cdot1}$

$x = \dfrac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{8 + 16} }{2} \\x = \dfrac{2\sqrt{2} \pm2\sqrt{6} }{2} \\ x_{1} = \sqrt{2} + \sqrt{6} \\x_{2} = \sqrt{2 } - \sqrt{6}$

Так как $\sqrt{6} > \sqrt{2} \Rightarrow$ $\sqrt{2} - \sqrt{6} < 0$ (т.е. в результате этого действия получится отрицательное число) $\Rightarrow x_2$ не подходит.

$\Rightarrow$ $AC = \sqrt{2} + \sqrt{6}$.

Answer 2

Для решения треугольника ABC с известными углами А = 45 градусов, В = 75 градусов и длинами сторон АВ = 2 и √3, мы можем использовать законы синусов и косинусов.

Давайте найдем длину стороны С, используя закон синусов: sin(С)/2 = sin(75)/√3 sin(С) = (2 * sin(75))/√3 С = arcsin((2 * sin(75))/√3) С ≈ 43.7 градусов

Теперь мы можем использовать закон синусов снова, чтобы найти длину стороны BC: sin(45)/BC = sin(43.7)/2 BC = (sin(45) * 2)/sin(43.7) BC ≈ 1.41 / 0.676 ≈ 2.09

Таким образом, длина стороны BC ≈ 2.09.

Итак, получаем результаты: Сторона АС ≈ 2 Сторона АВ = 2 Сторона ВС ≈ 2.09