Question

Докажите, что если у треугольника равны две медианы, то этот треугольник равнобедренный.

Answer 1

Доказательсьво опирается на то, что  три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами медиан треугольника.

Пусть ABC - произвольный треугольник, и M и N - середины сторон AB и AC соответственно. Предположим, что M и N равны.

Согласно свойству медианы, отрезок AM делит сторону BC пополам, и отрезок AN делит сторону BC пополам. То есть, AM = MB и AN = NC.

Предположим, что треугольник ABC не является равнобедренным. В этом случае все его стороны будут различными.

Поскольку AM = MB и AN = NC, получим, что AM + AN = MB + NC.

Но сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Поэтому сумма AM + AN всегда больше, чем сумма MB + NC.

Таким образом, получаем противоречие: AM + AN = MB + NC не может быть верным, если все стороны треугольника различны.

Следовательно, наше предположение было неверным, и треугольник ABC должен быть равнобедренным, если две его медианы равны.

Таким образом, доказано, что если у треугольника равны две медианы, то этот треугольник равнобедренный.