Question

Ребят,выручайте... Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость альфа, удалённая от вершины В на расстояние,равное 4 см. АС=ВС=8 см.,угол АВС=22°30\".Найдите угол между плоскостями АВС и альфа. желательно с рисунком

Answer 1

Рисунок здесь простой. В принципе в стереометрии построить схему задачи приблизительно выдерживая пропорции в произвольном положении несложно. Здесь я приведу простую схему. Построим на плоскости треугольник АВС. АВ (основание) на горизонтальной оси(можно ось Х). Строим в натуральную величину. По сторонам АС=ВС=8 и углу у основания равнобедренного треугольника 22*30. Продолжим сторону АС и проведём на неё перпендикуляр из точки В. Он пересечёт продолжение АС в точке Д.  Из точки В проведём перпендикуляр к горизонтальной оси длиной 4 см, обозначим его верхнюю точку К. Соединим К и Д.  Для наглядности проведём прямую через К параллельно АД . Затем прямую через точку А параллельно ДК. Они пересекуться в точке М. Теперь в стереометрии имеем-АДКМ(часть плоскости альфа), АД ребро двугранного угла между этой плоскостью и плоскостью АВС. Нужно найти линейный угол КДВ этого двугранного угла.   Вернёмся к плоскости СЕ=ВС*sin 22*30=8*0,3827=3,06.   ВЕ=ВС*cos 22*30= 8*0,9239=7,39.  Треугольник равнобедренный значит АВ=2ВЕ=14,78. Отсюда площадь треугольника АВС   Sавс=1/2* СЕ*АВ=1/2 *3,06*14,78=22,61.  Также Sавс=1/2* АС*ВД. Приравнивая получим  22,61=1/2*АС*ВД. Отсюда ВД=2*22,61/8=5,65. Перпендикуляр ВД  к ребру АД это проекция перпендикуляра КВ к плоскости альфа на плоскость АВС. Далее КВ/ВД= sin КДВ =4/5.65=0,7079. Отсюда угол~45 градусов.

Answer 2

Для начала нарисуем схему:

```
B
/ \
8 / \ 8
/ \
A ------- C
```

Пусть точка $D$ — точка пересечения высоты $CH$ треугольника $ABC$ с плоскостью $\alpha$. Тогда $BD=4$ (расстояние от $B$ до плоскости) и $\angle ABD = \angle CBD = 90^\circ$.

```
B
/ \
/ \
D/ \C
/|\alfa \
/ | \
A--H-------S

```

Треугольники $ABD$ и $CBD$ являются прямоугольными, а значит, $AD=DB=4\,\text{см}$. Также $\angle DAC = \angle BDC$, поскольку основания $AB$ и $BC$ равны. Таким образом, $\triangle ACD$ является равнобедренным, и $\angle CAD = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC)$.

Заметим, что плоскость $\alpha$ является высотой тетраэдра $ABCD$. Таким образом, она перпендикулярна его основанию $ABC$, а угол между этими плоскостями равен углу между прямыми $DS$ и $BC$.

Пусть $M$ — середина $BC$. Тогда $AM=MC=4\sqrt{3}\,\text{см}$ (поскольку $\triangle ABC$ равносторонний с длиной стороны $8$ см). Также $BM=2\sqrt{7}\,\text{см}$ (например, по теореме Пифагора в $\triangle BMC$). Значит, $\tan \angle DSC = \tan \angle MSC = \frac{BM}{AM} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$. Таким образом, угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ равен $\boxed{\arctan \frac{1}{2\sqrt{3}}}$ в радианах или $\boxed{5^\circ 42\text{'}\!}$ в градусах.