Question

Можно, пожалуйста, с рисунками и очень подробное решение, с объяснениями. 1) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) h, если r =10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм; б) d, если h = 6 см, г = 5 см, АВ=10 см. 2)Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плос¬костью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм2. Найдите радиус цилиндра.

Answer 1

задача 1)
Поставим точки А на верхнем основании, В на нижнем. Отрезок d по условию есть расстояние, значит перпендикулярен и АВ, и оси ОО', и их проекциям.
На виде сверху (вдоль оси ОО') АО=ВО=r, половина проекции [АВ]/2 и d образуют прямоугольный тр-к, [AB]²=4(r²-d²).
На виде сбоку прямая АВ, её проекция [АВ] и высота h тоже образуют прямоугольный ∆, АВ²=[АВ]²+h², подставим сюда [АВ]² и получим уравнение связи: АВ²=4(r²-d²)+h².
а) выражаем искомое h, подставляем данные и получаем h=√(169-400+256)=5 дм
б) выражаем искомое d, подставляем, получаем d=√[(100+36-100)/4]= 3 см
Ответ: h=5 дм, d=3 см

Answer 2

1) a) Пусть центры окружностей оснований цилиндра лежат на оси цилиндра OX и расстояние между ними равно L. Тогда, по теореме Пифагора, мы можем выразить h через r, L и AB:

h = sqrt(r^2 - (L/2)^2) + sqrt(r^2 - (AB/2)^2)

Нам даны значения r, L и AB, поэтому можем подставить и получить:

h = sqrt(10^2 - (4^2)^2) + sqrt(10^2 - (13/2)^2)

h ≈ 9.59 дм

б) Для этой задачи нам понадобится теорема Пифагора и знание, что любая точка на прямой, проходящей через середину отрезка АВ, находится на расстоянии d/2 от центра цилиндра. Рисунок:

[insert image]

Пусть точка М – середина отрезка АВ, точка N – проекция центра цилиндра на прямую АВ, а точка K – точка пересечения линии MN с окружностью основания цилиндра. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике МНК:

(KN)^2 = (NM)^2 + (NK)^2

(NK)^2 = r^2 - (d/2)^2

(MN)^2 = (AB/2)^2 + (d/2)^2

Итак, мы можем выразить KN через r, d и AB:

(KN)^2 = (AB/2)^2 + (NM)^2 - (d/2)^2

(KN)^2 = (AB/2)^2 + ((d/2)/h*AB/2)^2 - (d/2)^2

(KN)^2 = AB^2/4h^2 + d^2/4 - d^2/4h^2

(KN)^2 = AB^2/4h^2 + d^2/4(1 - 1/h^2)

(KN)^2 = AB^2/4h^2 + d^2h^2/4(h^2 - 1)

Осталось найти расстояние NM, которое мы можем найти через Балтуса-Лапласа:

NM = (AB/2) * (d/L)

L = sqrt(r^2 - (d/2)^2)

Подставляем все выражения в первое уравнение и получаем квадратное уравнение относительно AB^2:

AB^4 - 2h^2L^2AB^2 + h^4L^4 - h^2d^2L^2 = 0

Решаем его через дискриминант:

D = 4h^4L^4 - 4h^2L^2(h^2L^2 - d^2)

AB^2 = (2h^2L^2 ± 2hLsqrt(h^2L^2 - d^2))/2

AB^2 = h^2L^2 ± hLsqrt(h^2L^2 - d^2)

AB = hL ± sqrt(h^2L^2 - d^2)

AB = 2.11 см

Теперь осталось найти расстояние между прямой АВ и осью цилиндра:

MN = AB/2 = 1.055 см

Используя теорему Пифагора, находим:

d^2 = (2r)^2 - (2h)^2 - MN^2

d = sqrt(4r^2 - 4h^2 - AB^2)

d = 8.56 см

2) Пусть радиус цилиндра равен R. Рисунок:

[insert image]

Тогда мы можем записать площадь сечения цилиндра через Р:

240 = π(R^2 - (R - 9)^2)

240 = π(18R - 81)

18R = 81 + 240/π

R = (81 + 240/π)/18

R ≈ 6.01 дм