Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШЕНИЕ И РИСУНОК. Я ТЕМУ ПРОПУСТИЛА , НЕ ЗНАЮ КАК РЕШИТЬ. В трапеции АВСД  диагональ ВД  Перпендикулярна  боковой стороне АВ, углы АДВ  и ВДС  равны  30градусам Найдите длину АД, если  периметр трапеции равен 60 см.

Answer 1

Угол D равен ADB + BDC = 30 + 30 = 60 градусов.

Угол DBC = ADB = 30 градусов (как углы при параллельных прямых) 

Треугольник BCD равнобедренный с основанием BD, следовательно, BC = CD.

Угол В трапеции равен 90 + 30 = 120 градусов, угол А равен 180 - 120 = 60 градусов.

Трапеция равнобедренная, AB = BC = CD.

AD = 2AB по законам прямоугольного треугольника.

AB + BC + CD + AD = AB + AB + AB + 2AB = 60

AB = 12

AD = 12 * 2 = 24 см. 

Answer 2

Пусть $AB$ и $CD$ - основания трапеции $ABCD$, $AD = x$, $BC = y$. Тогда $AV = \dfrac{y}{2}$, $VD = \dfrac{x}{2}$.
Так как $VD$ перпендикулярна к $AB$, то $\angle ABD = 90^\circ$, а значит $\angle BAV = 60^\circ$ (так как угол $ADV$ равен $30^\circ$). Тогда по теореме косинусов в прямоугольном треугольнике $ABV$:
$$BV^2 = AV^2 + AB^2 - 2 \cdot AV \cdot AB \cdot \cos \angle BAV$$
$$BV^2 = \dfrac{y^2}{4} + AB^2 - yAB$$
Также по теореме косинусов в треугольнике $ADV$:
$$AD^2 = AV^2 + VD^2 - 2 \cdot AV \cdot VD \cdot \cos \angle ADV$$
$$AD^2 = \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{xy}{2}$$
Сложим последние два уравнения и подставим $AB = BC - AD = y - x$:
$$AD^2 + BV^2 = \dfrac{3}{4}y^2 - xy + \dfrac{x^2}{2}$$
Так как периметр трапеции равен $60$, то $AB + BC + AD + CD = 60$, или $2y + x = 60$. Выразим $y$ через $x$:
$$y = 30 - \dfrac{x}{2}$$
Тогда подставим эту формулу для $y$ в уравнение для $AD^2 + BV^2$:
$$AD^2 + BV^2 = 270 - 8x + \dfrac{5}{4}x^2$$
Также заметим, что треугольник $ADV$ равнобедренный, поэтому $AD = DV = \dfrac{x}{2}$.
Итак, мы получили два уравнения:
$$AD^2 + BV^2 = 270 - 8x + \dfrac{5}{4}x^2$$
$$AD = \dfrac{x}{2}$$
Осталось выразить $BV$ через $x$ и подставить в первое уравнение:
$$BV = AB \cdot \sin \angle BAV = (y - x) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \left(30 - \dfrac{3}{2}x\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{4}x$$
$$AD^2 + BV^2 = \dfrac{9}{4}x^2 - 12x + 270$$
Подставляем в эту формулу значение $AD^2 + BV^2$, которое мы вычислили ранее:
$$\dfrac{9}{4}x^2 - 12x + 270 = 270 - 8x + \dfrac{5}{4}x^2$$
$$2x^2 - 24x = 0$$
$$x(x - 12) = 0$$
Так как $x$ - длина стороны, то $x > 0$, поэтому $x = 12$. Тогда $y = 30 - \dfrac{x}{2} = 24$, и ответ: $AD = \dfrac{x}{2} = \boxed{6}$ см.