Question

В трапеции ABCD известно, что AD=8, BC=7, а её площадь равна 60. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN-ср.линия трапеции ABCD

Answer 1

Проведем высоту ВН.
Найдем ВН из формулы площади трапеции
60=(8+7)2 * ВН
7,5ВН=60
ВН=8.

Точку пересечения ВН с МN обозначим Е.
Тогда BЕ=12ВН=4.
S(BCNM)=(BC+MN)2*BE
MN=(BC+AD)2=(8+7)2=7,5

S=(7+7,5)2 * 4 = 105 (кв.ед.)

Answer 2

Поскольку MN является средней линией трапеции ABCD, то её длина равна полусумме оснований и равна (AB + CD)/2. Таким образом,

MN = (AB + CD)/2 = (AD - BC)/2 = 1.

Теперь нам нужно найти высоту трапеции BCNM. Обозначим эту высоту через h. Тогда площадь трапеции BCNM равна

S = (BC + MN) * h / 2.

Мы уже знаем MN, поэтому нам просто нужно найти h. Рассмотрим треугольник BMD, где D – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Этот треугольник равнобедренный, поскольку BM = MD (это следует из того, что MN – средняя линия трапеции ABCD). Таким образом, BD является высотой треугольника BMD, то есть высотой трапеции BCNM. Мы знаем, что AD = 8, поэтому BD равно половине высоты трапеции ABCD:

h = BD = (AB + CD) * AD / (2 * (AB + CD)) = 4.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции BCNM:

S = (BC + MN) * h / 2 = (7 + 1) * 4 / 2 = 16.

Ответ: площадь трапеции BCNM равна 16.