Question

55 БАЛОВ!!! 1.Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 20. Найти расстояние между серединами двух смежных сторон прямоугольника.2.Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 12 и углом при основании 30 градусов. Ответь дать в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 (корень из3=1.73)3. В круг вписан квадрат со стороной, равной a=2/корень из пи

Answer 1

1) Расстояние между серединами двух смежных сторон прямоугольника как средняя линия треугольника равно половине двух радиусов, то есть 20.

2) Высота  равнобедренного треугольника равна (12/2)*tg30° = 6/√3 = 2√3, а боковая сторона в 2 раза больше ,то есть 4√3.

Площадь треугольника равна S = (1/2)*12*2√3 = 12√3 кв.ед.

Радиус окружности равен:

R = abc/(4S) = (4√3*4√3*12)/(4*12√3) = 4√3 ≈ 6,9.

3) Нет задания.

Answer 2

1. Обозначим стороны прямоугольника через a и b. Тогда диагональ прямоугольника равна √(a^2 + b^2). Так как радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 20, то диагональ равна 220=40. Также известно, что диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Расстояние между серединами двух смежных сторон прямоугольника равно половине длины диагонали прямоугольника, т.е. 1/2√(a^2 + b^2). Из уравнения a^2 + b^2 = 40^2 следует, что a^2 = 40^2 - b^2. Подставляем это выражение в формулу для расстояния между серединами двух смежных сторон прямоугольника и получаем:

1/2√(a^2 + b^2) = 1/2√(40^2 - b^2 + b^2) = 1/2*√(40^2) = 20√2.

Ответ: 20√2.

2. Обозначим радиус описанной окружности через R. Так как треугольник равнобедренный, то высота, опущенная из вершины на основание, является медианой и биссектрисой, т.е. делит основание на две равные части. Пусть a - основание треугольника, тогда медиана равна a/2, а биссектриса равна a/(2тан(15°)). Также известно, что биссектриса и медиана равны радиусу описанной окружности R, т.е. a/2 = a/(2тан(15°)) = R. Решая это уравнение относительно R, получаем:

R = a/(2тан(15°)) = 12/(2тан(15°)) ≈ 16,4.

Ответ: 16,4 (с точностью до 0,1).

3. Радиус вписанной окружности квадрата со стороной a равен a/2. Так как a = 2/корень из пи, то радиус вписанной окружности равен (2/корень из пи)/2 = 1/корень из пи. Ответ: 1/корень из пи.