Question

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см ,а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Найти боковое ребро параллелепипеда.

Answer 1

Пусть ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед.

AB = 5, BC = 12. Нужно найти AA1.

Рассмотрим треугольник AA1C - прямоугольный (AA1 ⊥ (ABCD)),  ∠A1CA = 45°. Нам неизвестно ничего, кроме угла. Найдем катет AC в этом треугольнике.

AC - диагональ нижнего основания, то есть ABCD. ABCD - прямоугольник, следовательно AC = 13 см (5,12,13 - пифагоровы тройки)

AC = AA1 = 13 (треугольник AA1C - равнобедренный)

Ответ: 13

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного диагональю, боковым ребром и полудиагональю основания параллелепипеда.

Полудиагональ основания параллелепипеда равна:

$d_1 = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ см

Угол между диагональю и полудиагональю основания параллелепипеда равен 45 градусов, поэтому:

$\cos 45^\circ = \frac{d_2}{d_1}$

$d_2 = d_1 \cos 45^\circ = 13 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{13}{\sqrt{2}}$ см

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного боковым ребром, полудиагональю основания и диагональю, можем найти длину бокового ребра:

$b = \sqrt{d_2^2 - d_1^2} = \sqrt{\left(\frac{13}{\sqrt{2}}\right)^2 - 13^2} \approx 2.59$ см

Ответ: боковое ребро параллелепипеда примерно равно 2.59 см.