Question

Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках М и K соответственно так, что MK || АС, ВМ: АМ= 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника AВС равен 48 см.

Answer 1

Так как это подобные треугольники, при чем АВС большк ВМК в четыре раза. Следовательно их периметры относятся также. 48:4=12. ответ:12 см.

Answer 2

Обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b и c, где сторона a соответствует стороне ВС, сторона b - стороне АС, а сторона c - стороне АВ. Также пусть x обозначает длину отрезка МК, а y обозначает длину отрезка BM.

Из условия МК || АС следует, что треугольники АМК и АСМ подобны. Поэтому отношение длин сторон AM и AC равно отношению длин сторон MK и MS, где S - точка пересечения прямых АМ и МК:

AM/AC = MK/MS

Так как МК || АС, то MS = SC. Следовательно:

AM/AC = MK/SC

Подставляя известные значения, получаем:

1/4 = x/(c - x)

Отсюда находим:

x = c/5

Теперь можем выразить длину стороны ВК через y:

VK = y - x = 4y/5

Аналогично, выразим длину стороны КМ:

KM = c - x = 4c/5

Теперь можем выразить периметр треугольника ВМК:

P(ВМК) = BM + VK + KM = y + 4y/5 + 4c/5 = 9y/5 + 4c/5

Осталось найти длину отрезка BM. Заметим, что треугольники ВМК и ВАС подобны, так как у них соответственные углы равны (по теореме о параллельных прямых). Следовательно:

BM/AB = VK/AC

Подставляя известные значения, получаем:

y/(b + c) = 4y/(a + b)

Отсюда находим:

y = 4bc/(a + 5b)

Теперь можем выразить периметр треугольника ВМК через a, b и c:

P(ВМК) = 9y/5 + 4c/5 = 36bc/(5(a + 5b)) + 4c/5 = (36bc + 4ac + 20bc)/(5(a + 5b)) = (56bc + 4ac)/(5(a + 5b))

Так как P(ABC) = a + b + c = 48, то можем выразить a через b и c:

a = 48 - b - c

Подставляя в выражение для P(ВМК), получаем:

P(ВМК) = (56bc + 4(48 - b - c)c)/(5(48 - 4b)) = (56bc + 192c - 4c^2)/(240 - 20b)

Ответ: периметр треугольника ВМК равен (56bc +