Question

Две вершины треугольника и точка пересечения медиан лежат в одной плоскости α. Определите, будет ли лежать в этой плоскости точка пересечения высот треугольника. Ответ обоснуйте, основываясь на аксиомах стереометрии и следствиях из них.

Answer 1

Из 1ого утверждения,  что   две вершины треугольника и точка пересечения медиан лежат в одной плоскости α, мы понимаем , что весь треугольник дежит в плоскости => все элементы треугольника лежат в плсокости

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся следующими фактами из стереометрии:

1. Любые три точки принадлежат одной плоскости.
2. Медиана треугольника делит её площадь пополам.
3. Высота треугольника является перпендикуляром, опущенным из вершины на противолежащую сторону.

Так как две вершины и точка пересечения медиан лежат в плоскости α, то можно утверждать, что медианы треугольника также лежат в плоскости α. Поскольку медиана делит сторону треугольника пополам, она также пересекает высоту треугольника в её середине. Следовательно, точка пересечения медиан треугольника и точка пересечения высот треугольника лежат на одной прямой.

Теперь рассмотрим треугольник, построенный на сторонах, являющихся медианами и высотой, проходящей через оставшуюся вершину. Так как высота перпендикулярна к медиане, то этот треугольник является прямоугольным, и его гипотенуза проходит через вершину треугольника, в которой пересекаются медианы. Таким образом, гипотенуза этого прямоугольного треугольника лежит в плоскости α.

Из этого следует, что точка пересечения высот треугольника также лежит в плоскости α, так как она является точкой пересечения медиан и гипотенузы прямоугольного треугольника, все точки которого лежат в этой плоскости.

Итак, можно утверждать, что точка пересечения высот треугольника лежит в той же плоскости α, что и две его вершины и точка пересечения медиан.