Question

Стороны треугольника равны 3,9 см, 4,1 см и 2,8 см. Найдите площадь егопроекции на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 60°

Answer 1

Площадь треугольника по формуле Герона S=корень из ((р*(р-а)*(р-в)*(р-с))=корень из((5,4*1,5*2,6*1,3)=5,23.  Где р=(а+в+с)/2=(3,9+2,8+4,1)/2=5,4.  Пусть АС основание треугольника, Н его высота . Тогда площадь его S=1/2*АС*Н. Плоскости образуют двугранный угол ребром которого является основание треугольника АС(может быть любая другая сторона). При проецировании треугольника на другую плоскость основание остаётся неизменным, а высота будет равна Нпр. То есть площадь проекции треугольника будет равна Sпр.=1/2*АС*Нпр.=1/2*АС*(Н*cos 60)=(1/2АС*Н)*cos60=S*cos60=5,23*1/2=2,61.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно найти высоту треугольника, опущенную на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 60°. Затем можно найти площадь треугольника как произведение основания на высоту.

Чтобы найти высоту треугольника, нужно использовать формулу высоты, опущенной на сторону треугольника:

$h = \frac{2A}{b}$

где $A$ - площадь треугольника, $b$ - длина стороны, на которую опущена высота.

Сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона:

$s = \frac{1}{2}(a + b + c) = \frac{1}{2}(3.9 + 4.1 + 2.8) = 5.4\text{ см}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5.4\cdot1.5\cdot1.3\cdot3.1} \approx 3.66\text{ см}^2$

Затем найдём длину стороны, на которую нужно опустить высоту. Пусть точка опускания высоты на эту сторону находится на расстоянии $x$ от вершины треугольника, противолежащей этой стороне. Тогда по теореме косинусов:

$2.8^2 = x^2 + h^2 - 2xh\cos 60^\circ$

$h = \frac{2.8^2 - x^2}{2h} = \frac{2.8^2 - x^2}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}x} = \frac{2.8^2 - x^2}{\sqrt{3}x}$

Теперь мы можем подставить значение $h$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}\cdot2.8\cdot\frac{2.8^2 - x^2}{\sqrt{3}x} = \frac{1}{\sqrt{3}}(2.8^2x - x^3)$

Чтобы найти максимальную площадь, нужно найти точку, где производная равна нулю:

$\frac{dS}{dx} = \frac{1}{\sqrt{3}}(2.8^2 - 3x^2) = 0$

$3x^2 = 2.8^2$

$x = \sqrt{\frac{2.8^2}{3}} \approx 1.615\text{ см}$

Таким образом, максимальная площадь равна:

$S = \frac{1}{\sqrt{3}}(2.8^2\cdot1.615 - 1.615^3